jzxx_1174 [USACO] 麦香牛块

题目描述

农夫约翰的奶牛几乎要武装暴动，因为他们听说麦当劳要推出新产品麦香牛肉。奶牛们要尽力阻止这种产品的上市。他们研究了一种“劣等包装”策略。奶牛们说：“如果麦香牛肉有3块，6块以及10块装这三种，那么想买 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 14, 或17块牛肉的顾客就得不到满足了。劣等的包装，劣等的产品！” 帮助奶牛们。给出N (不同包装的种类数, 1 <= N <= 10)，以及N个正整数 (1 <= i <= 256)表示每种包装中牛肉数量，输出最大的不能买到的牛肉数量。如果任何消费要求都可以被满足或不能满足的牛肉数量没有上界，则输出0。最大的可能值（如果存在）不超过2,000,000,000。

输入

第1行: N第2..N+1行: 一个盒子里的牛肉数量。

输出

输出题目中要求的单个整数。

样例输入

3
3
6
10

样例输出

17

            当第一次看到这个题目的时候，一点想法都没有。数据范围那么大，如果一个个的枚举过去，时间上肯定会暴，而且也没有实际意义。题目要求的是最大的不能买到的数量，也就是在题目提供的数据以任何方式组合都不能达到的最大数。我当时在考虑，怎么保证某一个很大数是可以通过题目提供的数据来组合。

       我当时想着用一个数组存储提供数据的所有组合，但显然这样做不仅麻烦而且是错误的。

       于是，在网上看了别人的说明：这是一道基本的DP题目。

       // 如果输入的数据里面有 1  肯定就没有上界了；

      //  如果输入的数据的最大公约数不为1，则没有上界；

      //  数据最大 不会超过 max*max

       有些点到目前还不是很理解，在此记录下来，以后慢慢再进行研究。以下是网上找到的数学证明：

由于数目非常庞大，不能简单进行动态规划，必须先进行数学分析缩小范围。此题进行数学抽象，给定n个正整数{an}，于是有集合S={a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n，x_i属于N}，求集合N-S 的属性，以下先从n=2 开始阐述。

 

引理1：S={a*x + b*y, x,y属于自然数N}，当a、b 互素时，N-S为有限集，其最大值为 a*b-a-b；当a、b不互素时(a,b最大公约数大于1)，则N-S 为无限集

 

证明：

(1) 当a、b不互素时(a,b最大公约数大于1)，则N-S 为无限集

这个比较好证明，设p=gcd(a,b)，则a*x+b*y必定可以写成 p*z 的形式，由于p>1，则p* z + 1必定不属于S，于是N-S 为无限集

 

(2) 当a、b互素时，则N-S 为有限集，且最大值为a*b-a-b

首先证明 a*b-a-b 不属于S，使用反证法，

a*b-a-b = a*x + b*y  => a*(b-1-x) = b*(1+y)，由于 a、b互素，则有b-1-x>=b，这与定义矛盾，于是有a*b-a-b 必定不属于S

 

然后证明任何一个数z > a*b-a-b，均能表示为a*x + b*y(x,y属于N)，令z=a*b-a-b+i，因为a、b互素，则i=a*m+b*n(m,n属于整数，不是自然数)，于是z=a*(b-1+m) + b*(n-1)，当m、n均不为负数时，z均可以表示为a*x+b*y的形式，下面证明m、n有一个为负数时的情况。

不失一般性，设i=a*x-b*y(x,y属于N)，我们可以做一个变换，确保y<=a-1，当y>=a时，设y=a*r+s(s&lt;=a-1)，则有i=a*x-b*(a*r+s) =a(x-br)-bs，即i表示为a*x-b*y时，可以确保y<=a-1，此时必有x>=1。

z=a*b-a-b+a*x-b*y = a(x-1) + b(a-1-y)，由于 x>=1，y<=a-1，所以z可以表示，命题得证。

此命题表明S 包含大于等于ab-a-b+1的所有整数

 

引理2：S={a*x + b*y + c*z, x,y,z属于自然数N}，当a、b、c互素时，N-S为有限集，其最大值不大于MAX(ab,ac,bc)

 

证明

如果其中有两个元素互素，比如gcd(a,b)=1，则由引理1得到N-S为有限集，其最大值必定不大于ab-a-b，即不大于MAX(ab,ac,bc)

 

假设任意两个元素均不互素，不失一般性，令ab=MAX(ab,ac,bc)，p=gcd(a,b)，于是有a*x+b*y+c*z=p*(a1*x+b1*y) + c*z，其中p和z互素，a1和b1互素，将a1*x+b1*y看作一个元素，运用引理1得到 N-S 的最大值为pc-p-c，但由于a1*x+b1*y从a1b1-a1-b1之后才开始连续，所以N-S的最大值必定小于pc-p-c+ p(a1b1-a1-b1) < pc + ab/p

只要证明pc + ab/p <ab即可，因为p>=2则ab/p<=ab/2，因为p<=a/2，c<b，则pc<ab/2，于是命题得证。

引理2的证明给我们提供了解决原问题的思路

 

 

定理：S={a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n，x_i属于N}，当a_1i,a₂,...,a_n互素时，N-S的最大值小于MAX(a_i) * MAX(a_i)

 

使用数学归纳法证明，n=2,3时已经证明，假设n-1时已经证明，以下证明n时

如果其中有n-1个互素，则问题直接得证，即以下的证明为任意n-1个元素不互素的情况。不失一般性，假设n个数中a₁和a₂为最大的两个数，设p=gcd(a₁,a₂,...,a_n-1)

a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n= p(a’₁*x₁+...+a’_n-1*x_n-1) + a_n*x_n

根据归纳假设a’₁*x₁+...+a’_n-1*x_n-1至少从a’₁a’₂开始连续，且运用引理1，可以得到N-S最大值小于p a_n -p- a_n  +p(a’₁ a’₂) < p a_n+ (a₁ a₂)/2，利用与引理2相同的证明方法可以得到N-S的最大值小于a₁a₂

根据此定理，可以将原麦香牛块问题的范围限制到256*256之中，再使用动态规划求解就可行了。

原文地址：http://blog.youkuaiyun.com/wdq347/article/details/9313699

根据网上代码改的代码如下：

#include <stdio.h>

#define MAXN 70000      // 256*256
#define MAX(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

int GCD(int a, int b){
	if(a % b)
		return GCD(b, a%b);
	else 
		return b;
}    // 最大公约数

int main(){
	int f[MAXN];
	int num[20], n, m;
	int i, j;
	scanf("%d", &n);

	for(i = 1; i <= n; ++i){
		scanf("%d", &num[i]);
		if(num[i] == 1){              // 如果输入有1 则没有上界
			printf("0\n");
			return 0;
		}
	}
	
	int k = num[1];
	int max = num[1];
	for(i = 2; i <= n; ++i){
		k = GCD(k, num[i]);        //输入数据的最大公约数
		max = MAX(max, num[i]);     //输入数据中的最大数
	}
	if(k != 1){                       // 最大公约数>1 , 则么有上界
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	
	m = max * max;                // 上限
	f[0] = 1;
	
	for(i = 1; i <= n; ++i){
		for(j = num[i]; j <= m; ++j){         //如果f[j] 可以放一盒牛块，则置1 ；当i=1的时候
			if (f[j - num[i]])            //能用a[1]=3 组合的数据都已经置1了，然后再组合上
				f[j] = 1;            //a[2]=6 的所有数据，以此类推，就是所有的数据了。
		}
	}
	
	while(f[m]) --m;                    //倒推
	printf("%d\n", m);	
}

其实网上还有另一种解法是顺着来的，即先进行判定，如果在某一个体积里面刚好放进一盒牛块，则置其为1。就好像在一长条有格子的盒子里面放牛肉一样，以f[0]为基准状态，从a[1]=3 开始一直往后面放，即f[0]+k*a[1] (k是自然数），这样，在有限的情况下，3的倍数就放满了，然后是 a[2] = 6， 也是从f[0]基准状态开始，以此类推。这样的到

f[k] = 1 是在 t*a1 + p*a2 + q*a3 (t, p, q 是自然数)，符合了题目的要求。