P3817 小A的糖果(贪心算法)

本文详细解析了一道关于糖果盒的算法题目,旨在求解如何让任意两个相邻糖果盒中的糖果总数不超过特定值的最少吃糖策略。通过具体示例和代码实现,展示了算法的思考过程和解决方案。

题目描述

小A有N个糖果盒,第i个盒中有a[i]颗糖果。

小A每次可以从其中一盒糖果中吃掉一颗,他想知道,要让任意两个相邻的盒子中加起来都只有x颗或以下的糖果,至少得吃掉几颗糖。

输入输出格式

输入格式:

 

第一行输入N和x。

第二行N个整数,为a[i]。

 

输出格式:

 

至少要吃掉的糖果数量。

 

输入输出样例

输入样例#1: 复制

3 3
2 2 2

输出样例#1: 复制

1

输入样例#2: 复制

6 1
1 6 1 2 0 4

输出样例#2: 复制

11

输入样例#3: 复制

5 9
3 1 4 1 5

输出样例#3: 复制

0

说明

样例解释1

吃掉第二盒中的糖果。

样例解释2

第二盒吃掉6颗,第四盒吃掉2颗,第六盒吃掉3颗。

30%的测试数据,2<=N<=20,0<=a[i], x<=100

70%的测试数据,2<=N<=1000,0<=a[i], x<=10^5

100%的测试数据,2<=N<=10^5,0<=a[i], x<=10^9

 

 

思路:第一盒和最后一盒能不吃就不吃,因为吃了就只分别影响后、前的一盒。但是吃一盒中间的就影响 前后两盒。所以先判断第一盒,如果大于x,就吃到x为止,不要再贪吃了,ok,然后看第二盒让  第一盒+第二盒=x,第二盒为0,以此类推。如果第一盒小于x  但是第一盒+第二盒 >x,则吃第二盒直到  第一盒+第二盒 == x。这样就不用管最后一盒,可能你会举一个反例,比如:

3 4

7 5 1

这样的数据按照思路,就没法让相邻两盒为4了,但是我告诉你结果绝对没错,不信你自己允许一下程序看看是不是等于8,这并不是巧合,

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector> 
#include<cstdio>
#include<time.h> 
using namespace std;
int a[100001];
int n;
 
int main()
{
	cin>>n;
	int x; 
	cin>>x;
	long long sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	cin>>a[i];
	if(a[0]>x)
	{
		sum+=a[0]-x;
		a[0]=x;
	}
	
	
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		if(a[i-1]+a[i]>x)
		{
			sum+=(a[i-1]+a[i]-x);
			a[i]=x-a[i-1];
		}
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
	

}          

 

 

<think>我们正在解决分糖果问题,问题描述如下: 有n个孩子站成一排,每个孩子有一个评分ratings[i]。你需要根据以下规则给他们分发糖果: 1. 每个孩子至少分到1颗糖果。 2. 相邻两个孩子中,评分更高的孩子必须获得更多的糖果。 目标是使用最少的糖果满足上述条件。 贪心策略: 1. 初始化每个孩子至少1颗糖果,即candies数组全为1。 2. 从左向右遍历:如果右边孩子的评分比左边高,那么右边孩子的糖果数更新为左边孩子的糖果数+1。 这样保证了从左向右的相邻关系中,评分高的孩子(右边)糖果更多。 3. 从右向左遍历:如果左边孩子的评分比右边高,那么左边孩子的糖果数应该至少为右边孩子的糖果数+1(如果当前已经更大则保留)。 注意:在从右向左遍历时,不能破坏从左向右已经建立的规则,所以使用max函数来更新。 这样两次遍历后,同时满足了两个方向的相邻关系。 根据引用[3]中的示例代码,我们可以写出如下代码: 注意:这里我们使用两次遍历,时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(n)。 代码实现:</think>### 贪心算法解决分糖果问题详解 分糖果问题是一个经典的贪心算法应用场景,问题描述如下: 有 $n$ 个孩子站成一排,每个孩子有一个评分 $ratings[i]$。需要根据以下规则分发糖果: 1. 每个孩子至少分到 1 颗糖果 2. 相邻孩子中评分更高的必须获得更多糖果 目标是使用最少的糖果满足条件。 #### 贪心策略与证明 1. **核心思想**:通过两次遍历满足相邻关系约束 - 左→右遍历:保证右边高分孩子比左边多糖果 - 右→左遍历:保证左边高分孩子比右边多糖果 2. **最优性证明**: - 局部最优:每次遍历确保相邻关系满足条件 - 全局最优:两次遍历覆盖所有相邻关系,得到全局最优解 - 数学表达:最终糖果数 $C = \sum_{i=0}^{n-1} candies[i]$ 是最小可能值[^3] #### 代码实现 ```python def min_candy(ratings): n = len(ratings) candies = [1] * n # 初始化每人至少1颗糖果 # 左→右遍历:确保右边高分孩子糖果更多 for i in range(1, n): if ratings[i] > ratings[i-1]: candies[i] = candies[i-1] + 1 # 右→左遍历:确保左边高分孩子糖果更多 for i in range(n-2, -1, -1): if ratings[i] > ratings[i+1]: candies[i] = max(candies[i], candies[i+1] + 1) return sum(candies) # 测试用例 print(min_candy([1, 0, 2])) # 输出5 (分配[2,1,2]) print(min_candy([1, 2, 2])) # 输出4 (分配[1,2,1]) print(min_candy([1, 3, 4, 5, 2])) # 输出11 (分配[1,2,3,4,1]) ``` #### 算法分析 1. **时间复杂度**:$O(n)$ 仅需两次线性遍历,效率极高[^1] 2. **空间复杂度**:$O(n)$ 使用辅助数组存储糖果分配 3. **正确性保证**: - 左→右遍历建立递增关系 - 右→左遍历修正递减关系 - `max()`操作确保不破坏已建立的规则 #### 关键技巧 1. **初始化技巧**:`[1]*n`保证基本约束 2. **边界处理**: - 左→右从索引1开始(避免i-1越界) - 右→左从n-2开始(避免i+1越界) 3. **更新策略**:使用`max()`防止覆盖已分配值 > 该算法已被证明总能得到满足约束的最小糖果总数[^3],在时间复杂度要求严格的场景(如大规模评分数据)中尤其适用。
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