最优化学习笔记(十七)——拟牛顿法(3)

最新推荐文章于 2024-11-13 21:13:08 发布

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本文详细介绍了秩1修正算法的基本原理及其应用过程。通过秩1修正公式，文章展示了如何更新近似矩阵，并确保搜索方向始终指向函数下降的方向。此外，还讨论了算法实施的具体步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

秩1修正公式

在秩1修正公式中，修正项为 $\alpha_k\boldsymbol{z}^{(k)}\boldsymbol{z}^{(k)T}, \alpha_k \in \mathbb{R}, \boldsymbol{z}^{(k)} \in \mathbb{R}^n$ ,是一个对称矩阵，近似矩阵的更新方程为：

H k + 1 = H k + α k z (k) z (k) T

$\boldsymbol{H}_{k+1} = \boldsymbol{H}_{k} + \alpha_k\boldsymbol{z}^{(k)}\boldsymbol{z}^{(k)T}$
注意：

r a n k z (k) z (k) T = r a n k (⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ z (k) 1 z (k) 2 ⋮ z (k) n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ [z (k) 1, z (k) 2, \dots, z (k) n]) = 1

$rank\quad \boldsymbol{z}^{(k)}\boldsymbol{z}^{(k)T} = rank\quad \Bigg( \left[ \begin{array}{c} {z}_1^{(k)} \\ {z}_2^{(k)} \\ \vdots\\ {z}_n^{(k)} \end{array} \right] [{z}_1^{(k)},{z}_2^{(k)},\dots,{z}_n^{(k)}] \Bigg) =1$
所以称为秩1修正算法。如果

Hk $\boldsymbol{H}_{k}$ 是对称的，则

Hk+1 $\boldsymbol{H}_{k+1}$ 也是对称的。
接下来的问题是在给定的

Hk，Δg(k),Δx(k) $\boldsymbol{H}_{k}，\Delta\boldsymbol{g}^{(k)}, \Delta\boldsymbol{x}^{(k)}$ 的前提下，确定合适的

αk,

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