线性相关秩线性方程组解之间的关系_线性相关和秩的关系-优快云博客

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一、线性相关性

1、一组向量n维向量 $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ ···· $\alpha _{m}$ 线性相关

$\Leftrightarrow$ 存在其中一个向量可由其他向量线性表示

$\Leftrightarrow$ 存在一组不全为0的数 $k_{1}$ , $k_{2}$ ··· $k_{m}$ 使得 $k_{1}$ $\alpha _{1}$ + $k_{2}$ $\alpha _{2}$ +···+ $k_{m}$ $\alpha _{m}$ =0

$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $\left [ \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m} \right ]$ $\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ .\\ .\\ .\\ x_{m} \end{bmatrix}$ = $x_{1}$ $\alpha _{1}$ + $x_{2}$ $\alpha _{2}$ +···+ $x_{m}$ $\alpha _{m}$ =0有非零解

$\Leftrightarrow$ $\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m} \end{pmatrix}$ 的秩 $<$ 向量个数

TIPS:向量个数 $>$ 向量维数，向量组必定线性相关，齐次线性方程组必定有非零解

如果n个n维向量，线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $\begin{vmatrix} \alpha _{1}& \alpha _{2}&. &. & .& \alpha _{m} \end{vmatrix}$ =0

2.向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ ···· $\alpha _{m}$ 线性表示

$\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $\left [ \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m} \right ]$ $\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ .\\ .\\ .\\ x_{m} \end{bmatrix}$ = $x_{1}$ $\alpha _{1}$ + $x_{2}$ $\alpha _{2}$ +···+ $x_{m}$ $\alpha _{m}$ = $\beta$ 有非零解

$\Leftrightarrow$ $\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m} \end{pmatrix}$ 的秩= $\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m}&\beta \end{pmatrix}$ 的秩

二、判断线性相关性的方法

1、n $\times$ n阶矩阵：

（1）行列式 $=$ 0 $\Rightarrow$ 线性相关行列式 $\neq$ 0 $\Rightarrow$ 线性无关

（2）秩 $<$ 向量个数 $\Rightarrow$ 线性相关

2、n $\times$ m阶矩阵

（1）行 $<$ 列或向量个数 $>$ 向量维数：一定线性相关

三、判断 $\beta$ 能否由其他向量表示的方法

1、 $\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m} \end{pmatrix}$ 的秩= $\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m}&\beta \end{pmatrix}$ 的秩 $\Rightarrow$ $\beta$ 不能被表示

$\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m} \end{pmatrix}$ 的秩+1= $\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &. & . &. &\alpha _{m}&\beta \end{pmatrix}$ 的秩 $\Rightarrow$ $\beta$ 能被表示