Bundle Adjustment 原理推导

参考 摄影测量学 武汉大学出版社 金为铣 2001年4月 P23J1718
光束法平差模型：
在解析摄影测量中，将外方位元素（局外点）和模型点坐标（局内点）的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。

1. 共线方程式的表达：
   设S为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为;M为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z），m是M在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x，y，-f），，此时可知S、m、M三点共线。可得
   
   再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有
   
   由上面两式可解得共线方程式为
   
   其中x0、y0、f是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。

2. 共线方程式的线性化：
   该方程式一次项展开式为
   
   式中为共线方程函数近似值，为外方位元素改正数，为待定点的坐标改正数。
   在保证共线条件下有：
   
   此时，根据上面的共线方程式以及旋转矩阵可得到
   

3. 误差方程式的建立：
   据此可得到误差方程式为
   
   其中有：
   
   将误差方程式改写成矩阵形式可为
   
   也可简写成：
   
   在该式中有：
   

4. 法方程式的建立：
   根据平差原理可知其法方程式为
   
   只需列出误差方程式，权赋1；
   对于控制点，列出误差方程式，还要列出虚拟误差方程式，权赋P。
   虚拟误差方程式为
   
   列出各类点的误差方程式后，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按为最小建立的法方程式为
   
   也可简写成：
   
   在根据上式进行展开消元可得改化法方程式为：
   
   或者
   
   根据上面的公式可以求解出外方位元素的改正值；下面的公式可以求解出点的坐标改正值。

5. 结果判定：
   将改正数和规定的限差相比较，若小于限差则迭代完成，否则用未知数的新值又作为近似值继续迭代，直至满足条件。
   由此可知，开始时提供的初始值越接近最佳值，解的收敛速度就愈快；所以通常的处理方法是先进行空间后方交会，求出像片的外方位元素，将其作为光束法平差时未知数的初始值。