树状数组模板类

struct fenwickTree{
    vector<int> c;//下标从1开始 

    fenwickTree(){//默认构造函数
        c.clear();
        c.push_back(0);
    }

    fenwickTree(int n):c(n+1){//创建n个元素的树状数组
        c[0]=0;
    }

    fenwickTree(vector<int> &a):c(a.size()+2){//a下标从0开始 
        for(register unsigned i=0;i<a.size();i++){
            updata(i+1,a[i]);//对数列a建立树状数组
        }
        c[0]=0;
    }

    inline int lowbit(int x){
        return x & -x;
    }

    void updata(unsigned int pos,int x){//在位置pos增加x
        if(pos<1) return;
        while(pos<c.size()){
            c[pos]+=x;
            pos+=lowbit(pos);
        }
    }

    int sum(int pos){//求位置pos的前缀和
        int ret=0;
        while(pos>0){
            ret+=c[pos];
            pos-=lowbit(pos);
        }
        return ret;
    }
};
### 树状数组的区间修改实现 树状数组是一种高效的数据结构,通常用于处理单点修改和区间查询问题。然而,在某些情况下,也需要支持 **区间修改** 和 **区间查询** 的操作。为了实现这一目标,可以通过引入差分数组的思想来完成。 以下是基于差分数组思想的树状数组区间修改与查询的具体实现: #### 差分数组的概念 差分数组的核心思想是通过对原数组进行预处理,使得对某个区间的加法操作转化为两个单点的操作。对于一个长度为 \( n \) 的数组 \( a[] \),定义其对应的差分数组 \( b[] \) 如下: \[ b[i] = a[i] - a[i-1],\quad (i>0)\] 如果需要将区间 \([l, r]\) 上的所有元素加上 \( x \),则只需执行以下两步操作: 1. 将位置 \( l \) 处的值增加 \( x \): \( b[l] += x \)[^3] 2. 将位置 \( r+1 \) 处的值减少 \( x \): \( b[r+1] -= x \) 最终通过计算前缀和即可恢复原始数组的状态。 --- #### 区间修改与查询的代码模板 下面是一个完整的 C++ 实现,展示了如何利用树状数组支持区间修改和区间查询的功能。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // lowbit 函数 inline int lowbit(int x) { return x & (-x); } // 树状数组类 class BIT { public: vector<int> tree; int size; // 初始化树状数组 BIT(int n) : size(n), tree(n + 2, 0) {} // 单点更新函数 void update(int idx, int delta) { while (idx <= size) { tree[idx] += delta; idx += lowbit(idx); } } // 前缀和查询函数 int query_prefix(int idx) const { int res = 0; while (idx > 0) { res += tree[idx]; idx -= lowbit(idx); } return res; } // 查询区间 [left, right] 的和 int query_range(int left, int right) const { return query_prefix(right) - query_prefix(left - 1); } }; // 主程序部分 void solve() { int n, q; cin >> n >> q; // 数组大小和询问数量 // 构造两个树状数组分别存储差分数组及其辅助信息 BIT bit_add(n); // 存储 add 操作的结果 BIT bit_subtract(n); // 辅助树状数组,用于修正偏移量 while (q--) { char type; cin >> type; if (type == 'U') { // 更新操作 U l r x 表示给 [l, r] 加上 x int l, r, x; cin >> l >> r >> x; bit_add.update(l, x); // 对应于差分数组中的 add(l, x) bit_add.update(r + 1, -x); // 对应于差分数组中的 add(r+1, -x) bit_subtract.update(l, x * (l - 1)); // 记录偏移量调整项 bit_subtract.update(r + 1, -x * r); // 记录偏移量调整项 } else if (type == 'Q') { // 查询操作 Q k 表示求第 k 位的数值 int k; cin >> k; long long result = bit_add.query_prefix(k) * k - bit_subtract.query_prefix(k); cout << result << "\n"; } } } ``` --- #### 关键点解析 1. **差分数组的作用** 使用差分数组可以将区间修改转换成两次单点修改,从而降低时间复杂度至 \( O(\log n) \)。 2. **双树状数组的设计** 由于直接维护差分数组无法快速获取任意一点的实际值,因此设计了第二个树状数组 `bit_subtract` 来记录偏移量调整项[^4]。 3. **时间复杂度分析** - 修改操作的时间复杂度为 \( O(\log n) \) - 查询操作的时间复杂度同样为 \( O(\log n) \) --- ###
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值