不同的路径

有一个机器人的位于一个M×N个网格左上角（下图中标记为'Start'）。

机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（下图中标记为'Finish'）。

问有多少条不同的路径？

样例

1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
2,1
3,1						3,7

以上3 x 7的网格中，有多少条不同的路径？

【解法一】数学思路

从左上角到达右下角的路径是向下走m-1步和向右走n-1步的排列组合

即C((m+n-2) , (n-1))=C((m+n-2) , (m-1))=(m+n-2)! / ((m-1)! *(n-1)!)

public int uniquePaths(int m, int n) {
        // write your code here 
        if(m==1 || n==1)
          return 1;
        long path=1;//注意要用long  阶乘可能超出Int范围
        m=m-1;
        n=n-1;//为了计算方便
        for(int i=1; i<=n; i++){
            path=path*(m+i)/i;
        }
        return  (int)path;
    }

【解法二】动态规划

动态规划的步骤为： （参考网上资料）
1， 刻画一个最优解的结构特征 
2， 递归的定义最优解的值 
3， 采用自底向上的方法求解最优解的值。

基于这三个步骤来求解这问题： 
1，构造一个最优解的结构特征： 
在求解path[m,n]的时候我们必然要知道path[m-1][n] 和 path[m][n-1]的值。因此，在求解path[i][j]是我们需要先求解其子问题path[i-1][j] 和path[i][j-1] 
2, 递归的定义最优解的值： 
由于到达path[i][j]有两条路径path[i-1][j]和path[i][j-1],因此我们有 path[i][j] += path[i-1][j] + path[i][j-1]如果路径存在的话 
3，实现最优解 
int path[][] = new int[m+1][n+1];//初始化数组 因为左上角要从[1][1]开始
        for(int i=0;i<m+1;i++)
          for(int j=0;j<n+1;j++)
             path[i][j]=0;
        path[1][1]=1;
        for(int p=1;p<m+1;p++)
          for(int q=1;q<n+1;q++){//考虑到要有p-1  q-1所以从1开始循环
              path[p][q]+=path[p-1][q]+path[p][q-1];
          }
          
        return path[m][n];