Noip 模拟 19 2018/11/7_选择一个长度为k的连续子串(k 是给定的常数),翻转这个子串。对于每个i,i∈[1,n]-优快云博客

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本文解析了三道算法竞赛题目，包括字符串翻转优化算法、方程组求解及树形数据结构处理，和座位分配问题。针对每道题，详细介绍了问题背景、解决思路与优化方案，如使用set数据结构降低时间复杂度、利用DFS序和BIT实现高效查询与更新。

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T1：reverse
小 G 有一个长度为 n 的 01 串 T，其中只有 TS = 1，其余位置都是 0。现在小 G 可以进行若干以下操作：
选择一个长度为 K 的连续子串（K 是给定的常数），翻转这个子串。
对于每个 $i,i∈[1,n]i,i\in[1,n]$ ，小 G 想知道最少要进行多少操作使得 $T_i = 1$ 。特别的，有 m 个 “禁止位置”，你需要保证在操作过程中 1 始终不在任何一个禁止位置上。

暴力是很好想的，每次枚举翻转的区间，然后 bfs
但是时间 $O (n k)$ ，会 TLE
考虑优化找到转移点的过程
可以发现，一个点能转移到奇数点还是偶数点是固定的，能转移到的区间也是固定的
那么开 2 个 set 分别存下奇数点和偶数点，每次 lower_bound 到区间中的点进行转移，转以后将这个点从 set 删除，可以保证每个点只会被修改一次
效率 $O(n\log n)$

T2:equation
有一棵 $n$ 个点的以 1 为根的树, 以及 $n$ 个整数变量 $x_i$ 。树上 $i$ 的父亲是 $f_i$ ，每条边 $i,f_i)$ 有一个权值 $w_i$ ，表示一个方程 $x_i + x_{f_i} = w_i$ ，这 $n - 1$ 个方程构成了一个方程组。
现在给出 q 个操作，有两种类型:
$1$ $u$ $v$ $s$ ，表示询问加上 $x_u + x_v = s$ 这个方程后，整个方程组的解的情况。具体来说，如果方程有唯一解，输出此时 $x_1$ 的值；如果有无限多个解，输出 $i n f$ ；如果无解，输出 $n o n e$ . 注意每个询问是独立的。
$2$ $u$ $w$ ，表示将 $w_u$ 修改为 $w$ 。

通过推式子可以发现，每一个 $x_i$ 都可以写成 $x_i=W\pm x_1$ ，设根节点深度为 $1$ ，则深度为奇为正，为偶为负
那么问题就转化成给一个三元一次方程组，求解。
注意题目的奇怪设定，解必为整数。
可以发现，如果深度和为奇数，只有可能是无解或多解，剩下的分讨情况即可。
考虑如何处理 $W$ ，因为一个点的 $w_i$ 只会影响它的子树，所以可以按 dfs 序（树剖会 TLE）开一棵 BIT，区间查询修改即可（线段树也可以）