4644. 【NOI2016模拟7.16】人生的经验——欧拉回路

这一题的第一个答案就是n*c+l-1（也就是说任意两个相邻的字符串都可以共用l-1个字符），证明如下：

我们首先列出c^(l-1)个点，代表c^(l-1)种字符串的前缀，然后我们又把每一个点连出c条边，代表连向字符串的后缀。举个例子：

abcd分别连向

bcda

bcdb

bcdc

bcdd

（上面的后l-2个要与下面的前l-2个相同，两个字符串分别表示一个长度为l的字符串的前l-1个与后l-1个，连边的权值为后一个字符串的最后一个字母），由于每一个点都有c条出边于入边，所以这个图一定会有一条欧拉回路，那么就证明了命题。

关键是怎样求欧拉回路。并且在此拓展一下有关欧拉回路的问题。

欧拉回路：从一个点开始，每一条边都恰好经过一次地回到起点

欧拉路径：从一个点开始，每一条边都恰好经过一次地在任意点结束

对于有向图，若每一个点的入度等于出度，则存在欧拉回路。

                    若所有点的度数都一样，或有两个点一个多1一个少1，那么有欧拉路径

对于无向图，若所有的点的度数都是偶数，那么存在欧拉回路

                     若有0或2个点的度数为奇数，那么存在欧拉路径

欧拉回路的求法之一：圈套圈算法

         步骤如下

          1、从任意点i开始，找到一个任意的环p0p1p2...pt(p0=pt=i)，并把pj作为待搜索点

     2、从任意pj开始，用1的方式找还环g0g1g2...gh(g0=gh=pj)，那么g便可以插入p中，变成p0p1...pjg1g2...ghpj+1pj+2...pt

          3、重复刚才的步骤，最终便可以找出欧拉回路了

时间复杂度O(边数)