数学建模中的综合评价和决策方法=＞赋权方法

        导言引入——比如一批学校进行排名，那么就会从著作，论文和逾期毕业率进行排名，这些因素就是决策因子，而这个方法就是基于每个决策因子所赋予的权重不一样来进行决策方法。

        一.赋权方法

                主观赋权方法=>模糊综合评判法。

                客观赋权方法=>理想解法(决策矩阵)。

        今天我主要讲讲客观赋权方法(TOPSIS法/优劣解)

        二.数据预处理(多属性决策变量)

                首先处理的数据类型有很多种：

                        极大型(效益型)：期望取值越大越好

                        极小型(成本型)：期望取值越小越好

                        中间型：期望取值为是适当的中间值最好

                        区间值：期望取值落在某一个确定的区域最好

                然后分为三个步骤：

               1.一致化处理（正向化）：所谓的一致化处理就是将评价指标的类型进行统一，使得表中的任何一个属性下性能越优的方案变换后的属性值越大(极大值)。

                2.无量纲化处理：无量纲化处理是指将数据转换为无量纲或统一量纲的过程，常用于数据预处理和特征工程中。

                3.归一化：不同指标，不同单位大小。(下面就是常用的方法)            

                最大最小值标准化（Min-Max Scaling）：将数据缩放到一个指定的最小值和最大值之间，通常是[0, 1]或者[-1, 1]的范围内。

                Z-score标准化（Standardization）：通过减去均值，然后除以标准差，将数据转换为均值为0，标准差为1的标准正态分布。

在这里引入几个概念：

        正理想解C+：是设想各指标属性都达到最满意值的解

        负理想解C-：是设想各指标属性都达到最不满意值的解

        那么在n为维度空间中，我们需要求出各个备选方案a与正理想解C+与负理想解C-的距离

分别使用d*与d-表示：

                d*：就是各个备选方案d到正理想解的距离；

                d-：就是各个备选方案d到负理想解的距离；

最后就是通过这最优理想距离和最劣理想距离进行运算，如下：

        

二.算法步骤

        

TOPSIS（Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution）法是一种多属性决策方法，用于选择最佳解决方案。以下是其基本步骤：

1. 确定决策矩阵：将所有的备选解决方案以矩阵形式列出，其中每行代表一个解决方案，每列代表一个属性。

2. 标准化矩阵：对决策矩阵进行标准化处理，使得每个属性的值都在相同的范围内。常见的方法是将每个值除以该属性的最大值，从而将所有属性的值转换为0到1之间的数值。

3. 确定权重：确定每个属性的权重，反映其对最终决策的重要程度。权重可以根据专家意见、主观判断或数学方法确定。

4. 计算加权标准化矩阵：将标准化后的矩阵与权重相乘，得到加权标准化矩阵。

5. 确定正理想解和负理想解：对于每个属性，确定其在所有备选解决方案中的最佳和最差取值，分别构成正理想解和负理想解。

6. 计算距离：计算每个备选解决方案到正理想解和负理想解的距离，常见的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离等。

7. 计算相似度：根据距离计算每个备选解决方案与正理想解的相似度，通常使用公式𝑑𝑖+=𝑑𝑖−𝑑𝑖++𝑑𝑖−di+​=di+​+di−​di−​​，其中𝑑𝑖+di+​是备选解决方案与正理想解的距离，𝑑𝑖−di−​是备选解决方案与负理想解的距离。

8. 排序：根据相似度值对备选解决方案进行排序，相似度值越高，排名越靠前，代表更优的解决方案。    

关于案例分析，近几年考到理想算法的比较少，反而是考极值和最优解的比价多，但还是要学一点关于理想算法的。同样出这个还是和以前一样，一是供自己以后复习使用，二是真正帮助到那些小白（虽然我也是），希望能有帮助，同时也希望大佬指出问题所在。