RSA算法原理

RSA算法原理

    RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

 

算法

    (1)选择两个不同的大素数p和q； 
    (2)计算乘积n=pq和L=(p-1)(q-1)； 
    (3)选择大于1小于L的随机整数E，使得gcd(E, L)=1，且1<e<L； 注：gcd即最大公约数；
    (4)计算d使得d*e =1 mod L，且1<d<L；；注：即d*e mod L =1。 
    (5)对每一个密钥k=(n,p,q,d,e)，定义加密变换为Ek(x)=xe mod n，解密变换为Dk(x)=yd mod n，这里x,y∈Zn； 
    (6)p,q销毁，以{e,n}为公开密钥，{d,n}为私有密钥。

 

算法演练：

1、假设 p=7，q=11（p，q 同为素数）则n=7*11 = 77;

2、L=(p-1)(q-1) = 6 * 10 = 60;

3、1<e<L,  gcd(e,L)=1，即 1<e<60, gcd(e, 60)=1;   满足此条件的e有很多。 e = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49……59;

4、d*e mod Φ(n) =1,    d * e mod 60 =1;  

5、当    e = 7,   d = 43

            e = 11,  d = 11

            e = 13,  d = 37

            e = 19,  d = 19

            e = 23,  d = 47

            e = 29,  d = 29

            e = 31,  d = 31

            e = 37,  d = 13

            e = 37,  d = 13

            e = 41,  d = 41

            e = 49,  d = 41

            .

            .

            .

 

代码实现：

public class SimpleRSA {
	
	 /**
     * 加密、解密算法
     * @param key 公钥或密钥
     * @param message 数据
     * @return
     */
    public static long rsa(int baseNum, int key, long message){
        if(baseNum < 1 || key < 1){
            return 0L;
        }
        //加密或者解密之后的数据
        BigDecimal rsaMessage;
        //加密核心算法(采用BigDecimal避免超过long最大值，丢失精度)\
        //message的key次方 % baseNum
        BigDecimal init = new BigDecimal(message + "");
        BigDecimal message1 = new BigDecimal(message + "");
        BigDecimal baseNum1 = new BigDecimal(baseNum + "");
        for(int i = 1; i < key; i++){
        	init = message1.multiply(init);
        }
        rsaMessage = init.divideAndRemainder(baseNum1)[1];
        long s = rsaMessage.longValue();
        return s;
    }
 
    public static void main(String[] args){
        //基数
        int baseNum = 7*11;
        //公钥
        int keyE = 37;
        //密钥
        int keyD = 13;
        //未加密的数据
        long msg = 6L;
        //加密后的数据
        long encodeMsg = rsa(baseNum, keyE, msg);
        //解密后的数据
        long decodeMsg = rsa(baseNum, keyD, encodeMsg);
           
        System.out.println("加密前：" + msg);
        System.out.println("加密后：" + encodeMsg);
        System.out.println("解密后：" + decodeMsg);
    }
}

求解d

我们可以用代码来计算d的值

public class TestD {
	
	public static void main(String[] args) {
		// E * D mod L = 1
		// L = 60; E=7,11,13,17,19,23,29,31,37,41
		// 求D, D满足 1<D<L
		int e = 41;
		for(int i=0; i<60; i++){
			if((i*e)%60==1){
				System.out.println("d= "+i);
			}
		}
	}
}

 

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