[JSOI2011]分特产 Solution

本文探讨了一种数学解法,用于解决将特定数量的特产分配给一定人数的问题,通过组合数学的方法,计算出在不同条件下分配方案的总数。采用容斥原理,结合C语言实现,提供了一个具体的算法实例。

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考虑至少有xxx个人没分到特产的方案:那就是把a[i]a[i]a[i]个特产分给n−xn-xnx个人,方案数就是Cn−x+a[i]−1n−x−1C^{n-x-1}_{n-x+a[i]-1}Cnx+a[i]1nx1。选定这xxx个人的方案数是CniC^{i}_{n}Cni。那么总方案数就是这两个东西相乘。
那么就可以容斥去求解了。
code:code:code:

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 1000000007
int n,m,ans;
int c[2005][2005];
int a[2005];
int ksm(int x,int y,int z=1){
	for(;y;(z*=y&1?x:1)%=mod,y>>=1,(x*=x)%=mod);
	return z;
}
main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=m;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
  for(int i=0;i<=2000;i++)
    c[i][i]=c[i][0]=1;
  for(int i=1;i<=2000;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
      c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
  for(int i=0;i<=n-1;i++){
    int cnt=1;
    for(int j=1;j<=m;j++)
      (cnt*=c[n+a[j]-i-1][n-i-1])%=mod;
      if(i&1)
				((ans-=cnt*c[n][i]%mod)+=mod)%=mod;
      else
				(ans+=cnt*c[n][i]%mod)%=mod;
  }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}
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