微积分的本质

最新推荐文章于 2023-12-09 21:35:38 发布
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#几何学

本文探讨微积分的本质，从圆的面积和周长出发，揭示导数的概念及其与几何变化的关系。通过解析导数的悖论，指出导数是变化率的最佳近似，并介绍如何用几何方法求导，包括链式法则和乘积法则的应用。同时，讨论指数函数的求导以及隐函数求导中如何利用变化率保持曲线方程的恒等性。

一、概论
圆的面积为什么等于πrr?
圆的周长等于2πr。(为什么呢？)
为了求圆的面积，我们把圆剪成一个一个环，这符合数学的对称性，而当数学复合对称性时，数学往往会给你奖励
在这里插入图片描述
圆的面积等于每一个圆环的面积相加
每个圆环的面积等于每个圆环拉直的长度(2πr)*每个圆环拉直的厚度dr
把每个圆环都排在坐标轴上
在这里插入图片描述
把dr看的非常非常小时
就可以计算出圆的面积
在这里插入图片描述
求圆面积时，我们运气比较好，得出来面积正好对应着三角形的面积
如果是其他曲线对应的面积呢？如抛物线，x^3?
A(x)表示图中的面积与x的关系，x变化时A(X)的值如何变化？
在这里插入图片描述
当你算不出来这个面积的时候，不要去硬算它，因为这样你往往会碰壁，你要做的是把玩这些概念，找出他们之间的关系，从而用其他的关系来解决它。

当x不断变化时，我们可以得出dx和A(x)的关系
当dx越小dA就越准确
在这里插入图片描述
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