最长递增子序列

问题描述

给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为6的数组A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4.

参考：https://blog.youkuaiyun.com/u013178472/article/details/54926531

 

解法1 最长公共子序列法 O(n^2）

这个问题可以转换为最长公共子序列问题。如例子中的数组A{5，6， 7， 1， 2， 8}，则我们排序该数组得到数组A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，然后找出数组A和A’的最长公共子序列即可。显然这里最长公共子序列为{5, 6, 7, 8}，也就是原数组A最长递增子序列。

 

解法2 动态归纳法（暴力法） O(n^2）

设长度为N的数组为{a0，a1, a2, ...an-1)，则假定以aj结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(j)，则L(j)={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }。也就是说，我们需要遍历在j之前的所有位置i(从0到j-1)，找出满足条件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即为L(j)的值。最后，我们遍历所有的L(j)（从0到N-1），找出最大值即为最大递增子序列。时间复杂度为O(N^2)。

 

解法3  O(nlgn）

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

以此类推

public int lis(int[] array){
	if(null == array || array.length == 0){
		return 0;
	}

	int len = 1;
	int[] len2min = new int[array.length + 1];
	len2min[0] = array[0];
	for(int i = 1; i < array.length; i++){
		if(array[i] > len2min[len - 1]){
			len2min[len] = array[i];
			len++;
		}else{
			//二分查找
			int index = binSearch(len2min, array[i], len);
			len2min[index] = array[i];
		}
	}

	return len;
}

public int binSearch(int[] len2min, int arrayi, int len){
	int left = 0;
	int right = len - 1;
	while(left <= right){
		int mid = left + (right - left) / 2;
		if(arrayi > len2min[mid]){
			left++;
		}else if(arrayi < len2min[mid]){
			right--;
		}else{
			return mid;	
		}
	}

	return left;
}