【BZOJ1965】[AHOI2005] SHUFFLE 洗牌（数学题）

最新推荐文章于 2022-09-15 10:26:01 发布

chenxiaoran666

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分类专栏： BZOJ 乘法逆元

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乘法逆元

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这是一道关于洗牌的数学题，当扑克牌被平均分为上下两叠并交替取牌时，探讨经过m次洗牌后第l张扑克牌的编号。通过数学分析，可以得出位置变化规律，利用模运算和乘法逆元求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

点此看题面

大致题意： 有一叠扑克牌编号为 $1\sim n$ （ $n$ 为偶数），每次洗牌将扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。问 $m$ 次洗牌后第 $l$ 张扑克牌的编号。

数学题

$n, m$ 这么大，比较显然是一道数学题。

设当前位置为 $x$ ，则不难发现，每次洗牌之后，下一次的位置为： $2 x$ % $(n + 1)$

以此类推，经过 $m$ 次洗牌，这张扑克牌的位置应为 $2^mx$ % $(n + 1)$

既然这样，题目要我们求的就出一个 $x$ 满足 $2^mx\equiv l(mod\text{ }n+1)$

根据等式的性质，原式可化为 $x\equiv l·(2^m)^{-1}(mod\text{ }n+1)$

因此，我们只需求出 $2^m$ 在模 $n + 1$ 意义下的乘法逆元，再乘以 $l$ ，就可以求出 $x$ 了。

$L i n k$

乘法逆元 详见博客浅谈乘法逆元的三种解法

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define Fsize 100000
#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
#define pc(ch) (putchar(ch))
int OutputTop=0;char Fin[Fsize],*FinNow=Fin,*FinEnd=Fin,OutputStack[Fsize];
using namespace std;
LL n,m,l;
inline void read(LL &x)
{
    x=0;static char ch;
    while(!isdigit(ch=tc()));
    while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));
}
inline void write(LL x)
{
    if(!x) return (void)pc('0');
    while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;
    while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;
}
inline LL quick_pow(LL x,LL y,LL MOD)//快速幂
{
    register LL res;
    for(res=1;y;(x*=x)%=MOD,y>>=1) if(y&1) (res*=x)%=MOD;
    return res;
}
inline void exgcd(LL x,LL y,LL &s1,LL &s2)//exgcd求逆元
{
    if(!y) return (void)(s1=1,s2=0);
    exgcd(y,x%y,s2,s1),s2-=x/y*s1;
}
inline LL Inv(LL x,LL y)//求逆元
{
    register LL s1,s2;
    exgcd(x,y,s1,s2);
    return (s1%y+y)%y;
}
int main()
{
    return read(n),read(m),read(l),write(Inv(quick_pow(2,m,n+1),n+1)*l%(n+1)),0;//求出2^m在模n+1意义下的逆元乘以l模n+1后的值
}