图形图像处理算法(3) ---- 多项式插值法

原创 已于 2023-07-09 13:23:54 修改 · 1.2k 阅读 · 1 ·
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#算法 #图像处理

于 2023-06-28 17:49:59 首次发布
文章介绍了多项式的概念，包括一元二次和三元三次多项式，并详细阐述了多项式插值法，特别是牛顿插值法。通过差商计算和C语言代码示例解释了如何实现牛顿插值法，最后以一个例子验证了插值法的精度。

1. 多项式的定义

多项式（polynomial）是代数学的基本概念，简单的说是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次的加减法，乘法，以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式，下面就是一个一元二次多项式

下面所示是一个三元三次多项式：

一个多项式有几次取决于最高次幂的幂指数，有几元取决于未知数的个数，如果某一项不含未知数，称为常数项，多项式在数学的很多分支乃至自然科学中以及工程学中都有很重要的应用。

 2. 多项式插值法

有很多问题都可以按照函数的方式进行描述，然而这个函数通常是未知的，我们只能通过少量的已知的点来推断函数的大致模型，为了实现这个目的

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采用C++实现多项式插值，这篇文章只是做一个原理探讨，实际应用并不会使用这种方法进行插值。
图形学初识--直线插值算法
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已知屏幕两个点，计算出以这两点为端点的直线经过的所有像素，准确的说是像素点的坐标；但是，像素是有颜色属性的，端点的颜色已知，但是中间点颜色是未知的，这时候为了给这些中间点补充颜色属性，就需要引入插值算法，在这个场景下就叫直线的线性插值！基本思想：基于已知数据点构建一个函数，该函数能够通过这些点，并估计这些点之间的值！本质思路：计算点和点的距离是比较耗时的，咱们可以用初中数学知识，相似三角形从而简化问题的计算，提高性能！线性插值是一种最简单的插值方法，它假设两个相邻点之间的函数变化是线性的。
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QAQ
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tang7mj的博客
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拉格朗日插值多项式重点：使用拉格朗日插值多项式求解函数在某个特定点的函数值。难点：需要求解大量的系数，计算复杂度为 O(n^2)，容易出现数值稳定性问题。易错点：对于具有大量插值点的问题，使用拉格朗日插值多项式可能导致数值不稳定性和振荡现象。牛顿插值多项式重点：使用牛顿插值多项式求解函数在某个特定点的函数值。难点：需要求解大量的系数，计算复杂度为 O(n^2)，但比拉格朗日插值稳定性更高。易错点：对于非等距插值点的情况，牛顿插值多项式的计算复杂度可能会变得非常高。多项式插值的内维尔方法。
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rcoon
04-16 3726
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