随机变量采样

背景

概率图模型通常很复杂，难以精确求解。随机模拟等近似算法是处理复杂概率图模型的一种有效手段。许多近似算法的一个关键步骤是生成符合特定分布的样本。对于一些标准的概率分布（如均匀分布、正太分布、指数分布等），通常容易进行采样（例如Matlab 的 Statistics Toolbox 支持许多标准的概率分布）。但是对于复杂的概率分布，很难直接进行采样，因此，我们需要借助其他的手段。

在贝叶斯方法中，我们常需要根据观察到的数据集合 $D$，估计模型参数 $\theta$ 的后验概率分布 $p(\theta|D)$。根据贝叶斯规则：

$$p(\theta|D)=\frac{p(D|\theta)p(\theta)}{p(D)}$$ 其中 $p(D)=\int_{\theta} p(D|\theta)p(\theta)\ d\theta$ 为归一化常数，常常难以计算（函数形式复杂，高维）。

我们下面的讨论将考虑从概率分布 $p(z)$ 中采样，$p(z)$ 可能是未归一化的，即有如下形式：

$$p(z)=\frac{1}{Z_{p}}\tilde p(z)$$ 其中 $\tilde p(z)$ 可以很容易地计算出来，但是 $Z_{p}$ 未知。

下面将介绍两种针对复杂概率分布的采样方法：接受-拒绝采样、重要性采样。

接受-拒绝采样（accept-rejct sampling）

接受-拒绝采样基于这样一个前提： 对一个随机变量取样， 等价于从这个变量所服从的密度函数下方的区域均匀取样。当然， 取样的结果是变量值，如果是一元变量， 取样后得到的是一元变量的值。

上图显示了采样的过程。我们需要生成符合概率分布 $p(z)$ 的样本。$q(z)$ 表示选择的建议分布（proposal distribution）。建议分布应选择简单的分布（如正态分布），目的是容易直接进行采样。整个计算过程可以概括如下：

1. 选择一个易于采样的建议分布 $q(z)$
2. 寻找一个常数 $k$ ，使 <