数据结构——时间复杂度和空间复杂度

本文详细介绍了算法的时间复杂度和空间复杂度概念,并通过实例解析了如何计算这些复杂度,帮助读者理解算法效率评估的重要性。

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一个问题可能会有多种算法,我们当然会采用最好的那个算法,但是怎么判断一个问题的好坏与否呢?我们一般会通过分析它们的时间复杂度和空间复杂度来进行比较。

一般情况下,算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n),因此,算法的时间复杂度记做:T(n)=O(f(n))。

在计算时间复杂度的时候,先找出算法的基本操作,然后根据相应的各语句确定它的执行次数,再找出 T(n) 的同数量级(它的同数量级有以下:1,log(2)n,n,n log(2)n ,n的平方,n的三次方,2的n次方,n!),找出后,f(n) = 该数量级,若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c,则时间复杂度T(n) = O(f(n))。

例如:

for(i=1;i<=n;++i)
{
    for(j=1;j<=n;++j)
    {
        c[i][j]=0;//该步骤属于基本操作执行次数:n的平方次
        for(k=1;k<=n;++k)
            c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];//该步骤属于基本操作执行次数:n的三次方次
    }
}

则有 T(n) = n 的平方+n的三次方,根据上面括号里的同数量级,我们可以确定 n的三次方为T(n)的同数量级 则有 f(n) = n的三次方,然后根据 T(n)/f(n) 求极限可得到常数c 则该算法的时间复杂度:T(n) = O(n^3) 注:n^3即是n的3次方。

那么什么是空间复杂度呢?一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。利用程序的空间复杂度,可以对程序的运行所需要的内存多少有个预先估计。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分: (1)固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间(即代码空间)、数据空间(常量、简单变量)等所占的空间。这部分属于静态空间。 (2)可变空间。这部分空间的主要包括动态分配的空间,以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。 一个算法所需的存储空间用f(n)表示。 S(n)=O(f(n)) 其中n为问题的规模,S(n)表示空间复杂度。

### 计算数据结构时间复杂度 对于时间复杂度而言,其核心在于评估算法执行过程中基本操作的频率。具体来说,通过分析算法中每条语句被执行的次数来确定整个过程所需的相对时间开销[^1]。 #### 时间复杂度计算方法 为了简化这一过程,可以采用如下策略: - **忽略低次项**:当存在多项式表达形式时,仅保留最高幂次部分作为主导因素。 - **常数因子省略**:即使某些情况下有固定倍率影响整体耗时,但在比较不同规模下的增长趋势时不考虑这些系数差异。 例如,在快速排序算法里,平均状况下每次分割都能大致均分数组,则递归调用树高度大约为`log₂N`层;每一层涉及遍历当前子序列全部元素的操作,故总代价近似于`N * log₂N`级别[^5]。 ```python def quick_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr else: pivot = arr[len(arr) // 2] left = [x for x in arr if x < pivot] middle = [x for x in arr if x == pivot] right = [x for x in arr if x > pivot] return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right) ``` 上述实现展示了经典的快速排序逻辑框架,其最佳情形最差情形分别对应着不同的渐进性能特征——理想状态下能够达到O(n log n),而在极端分布模式(如已有序列)下降至O()。 ### 数据结构空间复杂度解析 空间复杂度关注的是存储需求随着输入尺寸扩大而产生的变动规律。这不仅涵盖了显式的变量声明占用量,还包括间接由函数调用栈帧、动态分配对象等引起的额外消耗[^4]。 #### 常见场景及其对应杂度等级 | 场景 | 描述 | | --- | --- | | `O(1)` | 不论处理多少数量的数据集始终维持恒定内存足迹,像简单的整型计数器或是单个指针引用就属于此类别[^2]。| | `O(n)` | 当前工作区内的临时实体数目与待解决问题实例呈线性关联,典型例子包括链表节点创建以及基于索引访问的一维向量制操作。| 以堆栈为例说明后者特性:每当遇到新的括号匹配任务时便新增一层记录环境直至完成配对检验为止,期间累积使用的辅助单元总数显然依赖于原始字符串长度参数n。
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