【初中数学】若x+y=5，xy=3，√[(x^2+x+9)(y^2+y+9)]的值？

初中数学代数式求值

若$x+y=5$，$xy=3$，求$\sqrt{(x^2+x+9)(y^2+y+9)}$的值？

解

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对已知条件进行升幂

对$x+y=5$分别乘以$x,y$
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{ll}x\times y+y\times y=5\times y& \\ x\times x+y\times x=5\times x& \end{array} \\ ⟹\{\begin{array}{ll}xy+y^2=5y& \\ x^2+yx=5x& \end{array} \\ ⟹\{\begin{array}{ll}{y}^2=5y-xy& \\ x^2=5x-yx& \end{array} \end{gathered}$$

产生的 $xy$ 和 $yx$ 使用 $xy=3$ 进行替换
$$\{\begin{array}{ll}{y}^2=5y-3& \\ x^2=5x-3& \end{array}$$

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对题目先进行降幂

先降幂，然后使用乘法分配律，最后带入已知条件。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& \sqrt{(x^2+x+9)(y^2+y+9)}\\ & =\sqrt{(5x-3+x+9)(5y-3+y+9)}\\ & =\sqrt{(6x+6)(6y+6)}\\ & =6\sqrt{(x+1)(y+1)}\\ & =6\sqrt{xy+1+x+y}\\ & =6\sqrt{3+1+5}\\ & =6\sqrt{9}=18\end{array}\end{array}$$