【初中数学】若x+y=5，xy=3，√[(x^2+x+9)(y^2+y+9)]的值？

原创已于 2024-06-10 11:15:45 修改 · 1.2k 阅读

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#x+y=5 #初中数学 #xy=3 #xx+x+9 #yy+y+9

于 2024-06-10 11:06:40 首次发布

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初中数学代数式求值

若 $x + y = 5$ ， $x y = 3$ ，求 $(x2+x+9)(y2+y+9)\sqrt{(x^2+x+9)(y^2+y+9)}$ 的值？

解

对已知条件进行升幂

对 $x + y = 5$ 分别乘以 $x, y$
$\begin{cases} x\times y+y\times y=5\times y &\text{ } \\ x\times x+y\times x=5\times x &\text{ } \end{cases}\\ \Longrightarrow\begin{cases} xy+y^2=5y &\text{ } \\ x^2+yx=5x &\text{ } \end{cases}\\ \Longrightarrow\begin{cases} y^2=5y-xy &\text{ } \\ x^2=5x-yx &\text{ } \end{cases}$

产生的 $x y$ 和 $y x$ 使用 $x y = 3$ 进行替换
$\begin{cases} y^2=5y-3 &\text{ } \\ x^2=5x-3&\text{ } \end{cases}$

对题目先进行降幂

先降幂，然后使用乘法分配律，最后带入已知条件。
$\begin{equation} \begin{split} &\sqrt{(x^{2}+x+9)(y^2+y+9)}\\ &=\sqrt{(5x-3+x+9)(5y-3+y+9)}\\ &=\sqrt{(6x+6)(6y+6)}\\ &=6\sqrt{(x+1)(y+1)}\\ &=6\sqrt{xy+1+x+y}\\ &=6\sqrt{3+1+5}\\ &=6\sqrt{9}=18 \end{split} \end{equation}$