递归

最新推荐文章于 2025-08-10 21:28:09 发布

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#pivot #reference #disk #算法 #c

本文介绍了递归算法的基本思想及应用，包括汉诺塔问题、查找数组最大值、折半查找法等经典案例。详细解释了如何建立递归模型，确定基例与执行步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递归算法采用了分而治之的思想，将复杂的问题分解为小的问题，并且这个小的问题的类型与原始问题的类型完全相同。通过分解，最终原始问题变得非常小，其解决方案显而易见，或为已知。那么对此类问题应怎样建立递归模型呢。

1，分析问题：确定问题能否分解为一个更小的问题，并且小的问题的类型和原始问题类型相同。确定该问题的循环不变式(loop invariant).

2，确定基例：当把问题分解的足够小时，即其最小问题的解决方案显而易见或者已知，即寻找到了此问题的基例。将基例作为解决问题的最小条件，由此条件而逐级回溯从而解决问题。
3，执行步骤：将一级小问题视为已知完全求解，则此原始问题的解决方案很容易确定，由此确定解决方案的执行步骤。
4，参数确定：递归函数的参数可分为四类：源因子，控制因子，接收因子和行为因子。具体问题具体分析，确定其需要的参数因子。
实例分析
   hanoi塔
   hanoi塔大家都已经熟知，在这里我就不多说了，直入正题。
初始状态时，所有的圆盘都在A上，目的是将A上的圆盘全部移到B上，那么将A上的n-1、n-2 个圆盘放在B上与将A上的所有的圆盘都放在B上类型相同，即可确定采用递归算法。当盘的数目为0或者为1时可确定达到基例，其无需进行操作或者将一个盘移到由A移到B上。将A盘上n-1个圆盘操作视为已完成的整体（即可一次性将其移到B或C盘）。完成原始问题的解决方案确定为，将A上n-1个圆盘移到C上，然后将A上的最后一个移到B上，然后再将C盘上的n-1个圆盘移到B上，则完成所有操作。
   参数选择时把N作为源因子，‘A’ ‘B’ ‘C’作为表示操作的行为因子。则其函数表达式为：

void sethan1(int count,char source,char destination,char medium)
{
	if(count==1)
		cout<<"Move top disk from pole "<<source<<" to pole "<<destination<<endl;
	else
	{
		sethan1(count-1,source,medium,destination);
		sethan1(1,source,destination,medium);
		sethan1(count-1,medium,destination,source);
	}
}
或
void sethan2(int count,char source,char destination,char medium)
{
	if(count>0)
	{
		sethan2(count-1,source,medium,destination);
		cout<<"Move top disk from pole "<<source<<" to pole "<<destination<<endl;
		sethan2(count-1,medium,destination,source);
	}
}

查找数组最大项：
在数组Array中查找最大项，分解数组为两个部分，分别找出最大项然后进行比较，取最大值。当分解的数组只有一项时，则其最大值即为该唯一项，由此可确定基例。
将数组的两个部分分别视作已完成的整体（即分别取得两个部分的最大值），然后进行比较，取最大值返回。

参数选择时，把arr作为源因子，first last作为控制因子。则其函数表达式为：

int searchMax1(int arr[],int first,int last)
{
	if(first>=last)
		return arr[first];
	else
	{
		int mid=(first+last)/2;
		return max(searchMax1(arr,first,mid),searchMax1(arr,mid+1,last));
	}
}

int searchMax2(int arr[],int first,int last)
{
	if(first>=last)
		return arr[first];
	else
	{
		int mid=(first +last)/2;
		if(searchMax2(arr,first,mid)>=searchMax2(arr,mid+1,last))
			return searchMax2(arr,first,mid);
		else
			return searchMax2(arr,mid+1,last);
	}
}

折半查找法
在已排序的数组array中查找指定值，分解数组为两个部分，判断指定值位于哪个部分，然后再将指定值所在的部分数组进行分解。
当分解的数组中只含有一项时，达到基例或者只含有一项时并且与指定值不相等时为基例（因为这是一个返回值函数，当存在指定值时已经返回，不存在指定值可作为基例）。
将数组的两个部分分别视作已完成的整体（具有返回值，或找到或找不到），返回由判断可知的那部分数组。

参数选择，传递一个源因子，first last 作为控制因子，则其函数表达式为：

int binarySearch(int arr[],int first,int last,int key)
{
	if(first>last)
		return -1;
	else
	{
		int mid=(first+last)/2;
		if(arr[mid]<key)
         		return binarySearch(arr,mid+1,last,key);
	        else if(arr[mid]==key)
	        	return mid;
             	else
	         	return binarySearch(arr,first,mid-1,key);
	}
}

查找第k最小项：

这个我理解的不到位就不多说了。函数表达式为：

//using the first item as the pivot and sort the array arr which is satisfy //for first part region items smaller than pivot and second part region 
//items equal or bigger than pivot. 
//look for the pivot P,and return it's position in arr;
//the return value is absolute

int findP1(int arr[],int first,int last)
{
	int lastS1=first;//lastS1 stands for S1 region's last position.
	int firstUn=first+1;//fisrt stands for unknown region's first position.
	while(firstUn<=last&&first<=last)
	{
		if(arr[first]<=arr[firstUn])
			firstUn++;
		else
		{
			int temp=arr[lastS1+1];
			arr[lastS1+1]=arr[firstUn];
			arr[firstUn]=temp;
			lastS1++;
			firstUn++;
		}
	}
	return lastS1;
}

//the return value is relative
//and reset pivot in "right "position .
int findP2(int arr[],int first,int last)
{
	int lastS1=first;
	int firstUn=first+1;
	int temp;
	while(firstUn<=last)
	{
		if(arr[first]<=arr[firstUn])
			firstUn++;
		else
		{
			temp=arr[lastS1+1];
			arr[lastS1+1]=arr[firstUn];
			arr[firstUn]=temp;
			lastS1++;
			firstUn++;
		}
	}
	temp=arr[first];
	arr[first]=arr[lastS1];
	arr[lastS1]=temp;
	return lastS1-first;
}

//the return value is absolute,
//and reset the pivot in "right "position.
int findP3(int arr[],int first,int last)
{
	int lastS1=first;
	int firstUn=first+1;
	int temp;
	while(firstUn<=last)
	{
		if(arr[first]<=arr[firstUn])
                	firstUn++;
		else
		{
		        temp=arr[lastS1+1];
			arr[lastS1+1]=arr[firstUn];
			arr[firstUn]=temp;
			lastS1++;
			firstUn++;
		}
	}
	temp=arr[first];
	arr[first]=arr[lastS1];
	arr[lastS1]=temp;
	return lastS1;
}


int kSmall1(int k,int arr[],int first,int last)
{
	int p=findP1(arr,first,last);
	if(k<p-first+1)
		return kSmall1(k,arr,first+1,p);
	else if(k==p-first+1)
		return arr[first];
	else
		return kSmall1(k-p+first-1,arr,p+1,last);
}
int kSmall2(int k,int arr[],int first,int last)
{
	int p=findP2(arr,first,last);
	if(k<p+1)
		return kSmall2(k,arr,first,p-1+first);
	else if(k==p+1)
		return arr[p+first];
	else
		return kSmall2(k-p-1,arr,first+p+1,last);
}
int kSmall3(int k,int arr[],int first,int last)
{
	int p=findP1(arr,first,last);
	if(k<p+1)
		return kSmall3(k,arr,first+1,p);
	else if(k==p+1)
		return arr[first];
	else
		return kSmall3(k,arr,p+1,last);
}
int kSmall4(int k,int arr[],int first,int last)
{
	int p=findP3(arr,first,last);
	if(k<p+1)
		return kSmall4(k,arr,first,p-1);
	else if(k==p+1)
		return arr[p];
	else
		return kSmall4(k,arr,p+1,last);
}

reference

《Data Abstraction and Problem Solving wiht c++ 》(Fourth Edition)