本文深入探讨了哈夫曼树的基本概念，包括路径、路径长度、带权路径长度等，并详细介绍了如何构建哈夫曼树。通过选取最小权值结点合并的方式，逐步构建出最优二叉树。同时，文章还阐述了哈夫曼编码的生成过程，通过从根结点到叶子结点的路径确定编码。最后，提供了完整的C语言代码实现，展示了构建哈夫曼树和编码的具体步骤。
哈夫曼树的基本概念
在认识哈夫曼树之前，你必须知道以下几个基本术语：
1、什么是路径？
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的结点之间的通路，称为路径。
如图，从根结点A到叶子结点I的路径就是A->C->F->I
2、什么是路径长度？
某一路径所经过的“边”的数量，称为该路径的路径长度
如图，该路径经过了3条边，因此该路径的路径长度为3
3、什么是结点的带权路径长度？
若将树中结点赋给一个带有某种含义的数值，则该数值称为该结点的权。从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积，称为该结点的带权路径长度。
如图，叶子结点I的带权路径长度为 3 × 3 = 9 3\times3=9 3×3=9
4、什么是树的带权路径长度？
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
如图，该二叉树的带权路径长度 WPL = 2 × 2 + 2 × 6 + 3 × 1 + 3 × 3 + 2 × 2 = 32 =2\times 2 + 2 \times 6 + 3 \times 1 + 3 \times 3 + 2 \times 2 = 32 =2×2+2×6+3×1+3×3+2×2=32
5、什么是哈夫曼树？
给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，则称该二叉树为哈夫曼树，也被称为最优二叉树。
根据树的带权路径长度的计算规则，我们不难理解：树的带权路径长度与其叶子结点的分布有关。
即便是两棵结构相同的二叉树，也会因为其叶子结点的分布不同，而导致两棵二叉树的带权路径长度不同。
那如何才能使一棵二叉树的带权路径长度达到最小呢？
根据树的带权路径长度的计算规则，我们应该尽可能地让权值大的叶子结点靠近根结点，让权值小的叶子结点远离根结点，这样便能使得这棵二叉树的带权路径长度达到最小。
哈夫曼树的构建
构建思路
下面给出一个非常简洁易操作的算法，来构造一棵哈夫曼树：
1、初始状态下共有n个结点，结点的权值分别是给定的n个数，将他们视作n棵只有根结点的树。
2、合并其中根结点权值最小的两棵树，生成这两棵树的父结点，权值为这两个根结点的权值之和，这样树的数量就减少了一个。
3、重复操作2，直到只剩下一棵树为止，这棵树就是哈夫曼树。
例如，现给定5个数，分别为1、2、2、3、6，要求构建一棵哈夫曼树。
动图演示：
1、初始状态：有5棵只有根结点的树。
2、合并权值为1和2的两棵树，生成这两棵树的父结点，父结点权值为3。
3、合并权值为2和3的两棵树，生成这两棵树的父结点，父结点权值为5。
4、合并权值为3和5的两棵树，生成这两棵树的父结点，父结点权值为8。
5、合并权值为6和8的两棵树，生成这两棵树的父结点，父结点权值为14。
6、此时只剩下一棵树了，这棵树就是哈夫曼树。
观察这棵哈夫曼树，我们还可以发现，哈夫曼树不存在度为1的结点。因为我们每次都是选择两棵树进行合并，自然不存在度为1的结点。
由此我们还可以推出，若给定n个数要求构建哈夫曼树，则构建出来的哈夫曼树的结点总数为2n-1，因为对于任意的二叉树，其度为0的叶子结点个数一定比度为2的结点个数多1。
证明：
设度为0，1，2的结点个数分别为n0，n1，n2
则二叉树的总结点数 n = n 0 + n 1 + n 2 n=n0+n1+n2 n=n0+n1+n2
设二叉树中边的条数为B
则 B = n 2 × 2 + n 1 × 1 B=n2\times2+n1\times1 B=n2×2+n1×1
又 ∵ B = n − 1 \because B=n-1 ∵B=n−1
∴ n 2 × 2 + n 1 = n − 1 \therefore n2\times2+n1=n-1 ∴n2×2+n1=n−1
即 n = n 2 × 2 + n 1 + 1 n=n2\times2+n1+1 n=n2×2+n1+1
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
6万+
到【灌水乐园】发言
