现实生活中的网络拓扑,可以抽象成由节点(路由器)和边(路由器之间的链路)构成的有向连通图,链路的代价可以抽象成边的权函数。之所以称图为有向图,是因为同一条链路(边)不同方向的权值可能不一样。
我们知道,对于有向连通图,以任意一个节点为起点,利用最短路径算法可以计算出到其他节点的最短路径。那么,对于能抽象成有向连通图的网络拓扑来说,也可以利用最短路径算法先计算出以任意一台路由器为起点,到达其他路由器的最短路径,然后根据各路由器的网络连接情况可以得到到各个网络的路由路径。
OSPF中用到的Dijkstra算法和RIP中用到的距离向量算法一样,都是相当经典的最短路径算法。本文将对Dijkstra算法及OSPF协议对Dijkstra算法的使用进行介绍。
1Dijkstra算法介绍
在数学上,以某个节点为起点,计算到其他节点的最短路径的算法,称为“单源最短路径” 算法。求“单源最短路径”的问题在数学上可以精确描述如下:
“单源最短路径” 问题:已知一个有n个节点(V0..n)构成的有向连通图G=(V,E),以及图中边的权函数C (E),其中V代表节点集合,E表示所有边的集合,并假设所有权非负,求由G中指定节点V0到其他各个节点的最短路径。
Dijkstra算法是很经典的求解上述问题的算法,其基本想法是设计一种最短路径树的构造方法,按非降次序逐条构造从V0到各个节点的最短路径,第一步找到和V0相距最短的节点以及到这个节点的路径,第二步找到和V0相距次短的节点以及到这个节点的路径,如此反复,最后找到V0到所有节点的最短路径,构造出整棵最短路径树。
对上述构造方法的一个直观考虑是:和V0相距最短的节点应该在和V0直接相邻的节点中,和V0相距次短的节点要么在和V0直接相邻的节点中,要么在和这些相邻节点相邻的节点中,如此逐步扩散考虑,应该就可以找到和V0相距最短、次短、…….第n短的节点以及对应的路径,而且因为是连通图,最后肯定所有节点都能全部考虑到,也就能完成整棵最短路径树的构造。
事实上,上述直观考虑是对的,Dijkstra算法是对上述过程的一个提炼和优化:和V0相距最短的节点是和V0直接相连的节点没错;相距次短的节点范围可以缩小为,和V0直接相邻的节点,加上跟刚选中的最短节点直接相邻的节点;相距第三短的节点的范围可以类推得到,即在上一步考察的节点的基础上,加上和次短节点直接相邻的节点。如此逐步构造,可以按非降次序找到到所有节点的最短路径。
为了从数学上精确描述上述构造过程,引入了集合的概念对节点和路径进行分类。
我们把节点分成两个集合:
A:已经选入最短路径树的节点的集合。
B:剩余的其他节点的集合。
对于路径,我们分成三个集合:
(1)已经选入最短路径树的路径的集合
(2)候选路径集合:下一条加入最短路径树的路径将从这个集合中选入
(3)剩余的其他路径的集合(被废弃的路径或者还未考虑的路径)
为了更好的理解,有必要对这里的路径定义进行一下强调:路径是指以V0为起点,其他节点为终点的由一条或多条边组成的一个有序集。边,可以理解为路径中的一段,只有到和V0直接相邻的节点的路径才直接对应一条边。从V0到所有节点,都可能存在一条或多条路径,非最短路径在计算过程中将会被废弃,放入集合III。
从前面的描述中可以明显看出,Dijkstra算法是一个递归构造过程,因为任何递归都必须有明确的初始状态,所以我们有必要先得到上述Dijkstra算法中定义的集合的初始值:
l以V0为起点计算最短路径的话,初始状态时显然有且只有V0在集合A中,所以集合A的初始值为V0。集合B的初始值为剩余节点。
l 前面提到过,下一个加入集合A的节点,一定是和V0直接有边相连的节点,因此,加入最短路径树的第一条路径也必然在这些和V0直接相连的边所代表的路径中产生,所以集合II的初始值就是和V0直接相连的边构成的路径。另外,初始状态最短路径树为空,所以集合I的初始值为空。集合I、II明确了的话,集合III自然明确。
下面我们开始展开递归构造最短路径树的过程:
l 第一步:从集合II中选择一条最短的路径,放入最短路径树,相应的,这条路径的终点对应的节点(这里记为X)应该从集合B移入集合A。
l 第二步:考察所有从X出发的边的终点,考虑其中不属于集合A的节点,这里记为Y,计算从V0出发经X到达Y的路径值,计算方法为:最短路径树中V0到节点X的路径值加上(X,Y)这条边的值。为了描述方便,我们把从V0出发经X到达Y的路径记为(V0X)Y。接着考察集合II中的候选路径,如果其中没有到节点Y的路径,则直接把路径(V0X)Y作为候选路径加入集合II;如果集合II中已经有到节点Y的路径,则进行比较,如果这条路径值小于或等于路径 (V0X)Y的路径值,那么路径(V0X)Y作为被废弃的路径放入集合III,否则原集合II中到Y的路径被废弃放入集合II,(V0X)Y作为候选路径放入集合II。对于Y节点有多个的情况,按第二步的方法一个一个的计算和比较。
l 重复第一步和第二步,直到集合II和集合B为空。
第二步事实上是对候选路径的一个重新计算过程,因为在集合A中引入了新的节点后,考察的范围变大了,很可能在原来节点范围内认为到某个节点的最短路径已经不再是最短路径了,这时候,需要根据第二步的方法进行调整。
为了让大家更好的理解这一构造过程,这里举一个较为典型的例子,如下是一个有向图:
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候选路径集合
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路径长度
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最短路径树中的节点(集合A)
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最短路径树
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说明
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V0V1
V0V2
V0V4
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50
10
45
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V0
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Null
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在初始状态,最短路径树中只有节点V0,候选路径就是V0直接相连的边代表的路径。
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V0V1
V0V4
V0V2V3
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50
45
35
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V0、V2
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V0V0
V0V2
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V0V2在所有候选路径中最短,所以放入最短路径树,V2放入集合A。考察所有以刚放入集合A的节点V2为起点的边的终点,对其中不在集合A中的节点,这里只有节点V3,计算从V0出发经节点V2,到达V3的路径V0V2V3的值,因为候选路径中没有到V3的路径,所以V0V2V3路径直接放入候选路径集合。
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V0V4
V0V2V3V1
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50
45
45
55
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V0、V2、V3
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V0V0
V0V2
V0V2V3
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V0V2V3在所有候选路径中最短,所以放入最短路径树,V3放入集合A。考察所有以刚放入集合A的节点V3为起点的边的终点,对其中不在集合A中的节点,这里是节点V1,V4,计算从V0出发经节点V3,到达这两个节点的路径V0V2V3V1和V0V2V3V4的路径值,并和候选路径中已有的到达V1、V4的路径值进行比较:V0V2V3V1小于V0V1,所以V0V1从候选路径中删除,V0V2V3V1放入候选路径集合;V0V2V3V4比V0V4大,所以V0V4在候选路径中保留,V0V2V3V4路径废弃不用。
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V0V2V3V1
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45
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V0、V2、V3、V4
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V0V0
V0V2
V0V2V3
V0V4
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V0V4和V0V2V3V1路径值相等,任意选择V0V4放入最短路径树,V4放入集合A。考察所有以刚放入集合A的节点V4为起点的边的终点,其中不在集合A中的节点没有(虽然有边V4V3,但V3已经在集合A中了),所以不进行选择和计算。
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V0、V2、V3、V4、V1
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V0V0
V0V2
V0V2V3
V0V4
V0V2V3V1
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候选路径V0V2V3V1放入最短路径树,这时候选路径集合为空,并且所有节点已经放入了集合A。计算结束。
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