kmp算法原理分析

今天刚学到kmp算法，开始时觉得玄而又玄，刚才思考了一下，发现明白了其数学原理后，算法本身就很简单了，下面就分析一下其数学原理

首先设串a1,a2,a3,....am为待搜索的串A，b1,b2,..bn为子串B(n<=m)。

先来想一下kmp算法，其中第一步操作就是要找到B所有以b1开头的子串的最大前缀后缀公共元素。这里，我们就以一次匹配的过程为例子，分析为什么要这样做。

假设在匹配了若干次后，我们匹配到了A的子串ap+1,ap+2,,,,,,ap+q和B的子串b1,b2....bq是匹配的，但后面就不是匹配的了。

我们写成如下形式:

a1,a2........ap,        b1,b2,......bq-1,bq,      ap+q+1,.....am

                              b1,b2.......bq-1,bq,      bq+1........bn  

(因为ap...ap+q=b1.....bq，就直接把ap.....ap+q替换为b1,....bq)

为了简便，我们记 b1,b2.......bq-1,bq为子串B1,B1的最大前缀后缀公共元素为b1....br,即b1.....br=bn-r+1,.....,bq。根据算法的做法，这时只需要把B向右移动q-r然后继续匹配就可以了:

b1,b2,....br,   br+1,.....bq-r,       bq-r+1......bq-1,bq

                                                  b1,b2,...............,br,      br+1.......,bq

，这说明这时B向右移动任意小于q-r，都不能使下面匹配成立:

b1,b2,....br,   br+1,...bk,bk+1,..  ..bq-r, bq-r+1......bq-1,bq

                                 b1,b2,   ...............,br,    .........br+1.......,bq

(蓝色部分是无法匹配的，即上下蓝色部分不会完全相同)

那为什么就不能匹配成功呢？？我们不妨来假设能匹配上，看会发生什么:

假设存在s>r,使得将B右移q-s后，b1,b2,......bs=bq-s+1,bq-s+2,.....bq，即

b1,b2,.......bq-s+1,bq-s+2,.......bq-r+1,bq-r+2,.......bq-1,bq

                 b1,       b2. .............................................bs-1,bs.bs+1,................

蓝色部分是相同的。发现了什么？好像出现了一个比b1....br更大的前缀后缀公共元素b1......bs(s>r),这与b1.....br是B1是最大的前缀后缀公共元素是矛盾的，这说明B1确实不可能在向右移动少于q-r步内再次匹配上，

所以，在下次匹配前，我们只需要先移动p-r使串变成下面就能开开心心地继续匹配了。

b1,b2,....br,   br+1,...bk,bk+1,..  ..bq-r, bq-r+1......bq-1,bq

                                 b1,b2,   ...............,br,    .........br+1.......,bq

差点忘了，我们还要说一下为什么继续匹配时接着从A串的ap+q+1匹配就可以了：

(图片转自csdn《从头到尾彻底理解kmp》，侵删）

由这幅图可以很容易看出，移动后原来匹配过的地方仍然是匹配的，只要继续匹配就可以了。

，这样算法最关键的部分的原理就清楚了，剩下的都是一些操作细节，就不再详述了。

（我相信，在一个月后，当我再看这篇文章时，一定不明白我自己都在说什么了）