【算法】AOE网找关键活动、关键路径

1. 前言

• 关键路径是什么？
  整个活动网影响整体耗时的路径。如果活动网没有任意一个分叉，所有节点连起来也为一条关键路径。

• 找关键路径用于解决什么问题？
  项目推进中，如果要压缩工期，找到关键路径，并减小关键活动的耗时才能减少整体耗时，否则会做无用功。如图示:

  • 红色的边 = 关键活动。
  • 红色边 + 经过的节点 = 关键路径。
    

• 存在关键路径的前提
  带正权的有向无环图，在业务中与数据结构的名词映射：
  状态 —— 图的顶点
  活动 —— 图的边

• 看本文需要具备的基础
  拓扑排序、逆拓扑排序

• 参考
  王道教程，例子来源于王道

2. 算法的名词解释

最早发生时间 ve 和 最迟发生时间 vl 都是描述的活动的开始时间。
我们讨论 活动 的 e 和 v 都是在描述这个活动在整个项目中两个属性，并且属性的值与边上的权相关其中：

• ve 都依赖于之前发生的状态，即当前讨论的v2活动 作为箭头的终点，往前找活动
  项目起点 活动v1 无前面的状态，也就无权，则ve(活动v1) = 0
• vl 都依赖于之后发生的状态，即当前讨论的v2活动 作为箭头的起点，往后找活动
  项目终点 活动v6 无后面的状态，也就无权，但初始值来自于veve(活动v6) = vl(活动v6)

记忆点：先算完整个项目中状态的最早发生时间，才能算最迟发生时间。按拓扑排序依次计算状态的最早发生时间，按逆拓扑排序计算活动的最迟发生时间

2.1 状态最早发生时间 ve

明确一点，计算项目从开始节点往后推的时间。
引用王道的一个例子，厨师有两个帮手，帮手A负责洗番茄和切番茄，一共耗时4min。
ve(v1) = 0;
则 ve(v2)