最大子段和 （动态规划算法）

问题描述：

    有n个数（以下都视为整数），每个数有正有负，现在要在n个数中选取相邻的一段，使其和最大，输出最大的和。

找到的O(n)线性时间的算法——动态规划。

我们令一个数组f，f[i]表示前i个元素能组成的最大和。如果f[i-1]大于零，则不管a[i]的情况，f[i-1]都可以向正方向影响a[i]，因此可以将a[i]加在f[i-1]上。如果f[i-1]小于零，则不管a[i]再大，都会产生负影响，因此我们还不如直接令f[i]=a[i]。因此状态转移方程就在这里。我们只需在f中扫描一次，找到最大的值就是最大子段的和。

int LSS_DP(int a[])                 //求最大子段和，动态规划，O(n)
{
int f[101], n = a[0], max = -200000000;           //f[i]表示第 i 个数能构成的最大和， max 表示当前所有中的最大和

f[1] = a[1];

for (int i = 2; i <= n; i++)
{
   if (f[i - 1] > 0)               //如果第 i 个数后面一个数能构成的最大子段和大于 0
   {
    f[i] = f[i - 1] + a[i];             //大于就将第 i 个数加入其中
   }
   else
    f[i] = a[i];               //否则第 i 个数自己组成一个最大子序列

   if (f[i] > max)                //更新最大值
    max = f[i];
}

return max;
}

    以上四个算法，从3个不同的思想解决了最大子段和问题，不管从时间效率还是代码量来说，动态规划都是最优的，仅需要一个辅助数组f来临时存取，因此时间复杂度空间复杂度都是线性的。