编程之美——买书问题

编程之美——买书问题

一. 问题

      上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

        本数    2       折扣   5%

        本数    3       折扣  10%

        本数    4       折扣  20%

        本数    5       折扣  25% 

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

 

二. 问题分析：

       优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番狂轰乱炸！！直到找到最优解！！

 贪心策略

  当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

  当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买 

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

       如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

       结论：贪心策略不可取

动态规划

         要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

        五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

         要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

        （X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1 < X2 < X3 < X4 < X5

                            F（X1，X2，X3，X4，X5）=0  ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

                             F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{

                                                                             5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部  > 0

                                                                             4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）    //x2 > 0

                                                                             3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1）        //x3 > 0

                                                                             2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1）             //x4 > 0

                                                                             8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1）                                  //x5 > 0

                                                                             }

二. 测试代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int large=100000;

template<typename T>

//下面是以冒泡排序法进行排序
void rerank(T m[],int length)
{
  for(int i=length-1;i>0;i--)
  {
    for(int j=0;j<i;j++)
{
 if(m[j]>m[j+1])
 {
   T temp;
temp=m[j+1];
m[j+1]=m[j];
m[j]=temp;
 }
}
  }
}

double Min(double a,double b,double c,double d,double e)
{
double nn[5]={a,b,c,d,e};
rerank(nn,5);
return nn[0];
}


double findbest(int x1,int x2,int x3,int x4,int x5) //动态规划(递归实现)
{
int n[5]={x1,x2,x3,x4,x5};
rerank(n,5);
x1=n[0];
x2=n[1];
x3=n[2];
x4=n[3];
x5=n[4];
if(n[0]>0)
{
 return Min(8.0+findbest(x1,x2,x3,x4,x5-1),2*8*0.95+findbest(x1,x2,x3,x4-1,x5-1),
 3*8*0.9+findbest(x1,x2,x3-1,x4-1,x5-1),4*8*0.9+findbest(x1,x2-1,x3-1,x4-1,x5-1),
 5*8*0.75+findbest(x1-1,x2-1,x3-1,x4-1,x5-1));
}
else if((n[0]=0)&&(n[1]>0))
{
 return Min(8.0+findbest(x1,x2,x3,x4,x5-1),2*8*0.95+findbest(x1,x2,x3,x4-1,x5-1),
 3*8*0.9+findbest(x1,x2,x3-1,x4-1,x5-1),4*8*0.8+findbest(x1,x2-1,x3-1,x4-1,x5-1),large);
}
else if((n[0]=0)&&(n[1]==0)&&(n[2]>0))
{
 return Min(8.0+findbest(x1,x2,x3,x4,x5-1),2*8*0.95+findbest(x1,x2,x3,x4-1,x5-1),
 3*8*0.9+findbest(x1,x2,x3-1,x4-1,x5-1),large,large);
}
else if((n[0]=0)&&(n[1]==0)&&(n[2]==0)&&(n[3]>0))
{
 return Min(8.0+findbest(x1,x2,x3,x4,x5-1),2*8*0.95+findbest(x1,x2,x3,x4-1,x5-1),
 large,large,large);
}
else if((n[0]=0)&&(n[1]==0)&&(n[2]==0)&&(n[3]==0)&&(n[4]>0))
{
 return Min(8.0+findbest(x1,x2,x3,x4,x5-1),large,large,large,large);
}
else
return 0;
}

int main()
{
int n[5]={2,2,2,1,1};
double minmoney=findbest(n[0],n[1],n[2],n[3],n[4]);
cout<<"花费的最少钱是:"<<minmoney<<endl;
}

参考：  http://blog.youkuaiyun.com/tianshuai11/article/details/7663427