Single Number II

https://oj.leetcode.com/problems/single-number-ii/

Given an array of integers, every element appears three times except for one. Find that single one.

Note:
Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory?

public int singleNumber(int[] A)

这一题把重复两次，变成重复三次，难度瞬间就特别不一样了。HashMap依旧是一个可选项，但必然就不是without using extra memory了。而且，单纯的异或也不管用了。也没有什么简单的bit operation能够化解这个东西了。那么，下面，我要首先感谢code ganker。反正我是肯定想不出这种复杂的bit operation解决方案的。所以直接先给代码，然后我再努力解释一下：

    public int singleNumber(int[] A) {
        int ones = 0,twos = 0, xthrees = 0;
        for(int i : A){
            twos |= (i & ones);
            ones ^= i;
            xthrees = ~(ones & twos);
            ones &= xthrees;
            twos &= xthrees;
        }
        return ones;
    }

好，我们看到了三个变量，ones, twos, xthrees。里面保存着什么呢？正如其名。

ones保存的是只出现过一次的bit，twos保存的是只出现过两次的bit，xthrees实际上是一个filter，出现过三次的bit是0，反之则是1.

twos |= (i & ones); 这一句话的含义在于将当前数字的二进制bit和ones进行与操作，这样留下的，就是出现过两次的bit。

ones ^= i： ones里面保存的是只出现过一次的bit，所以如果在这里i也出现了，自然是要剔除的。

xthrees = ~(ones & twos); 事实上上面两步并不能保证twos和ones里不存在出现过三次的bit。举个例子，如果某一位的bit，在twos里是1，在i里也是1，但是ones里是0。那么在经历过第一次和第二次的操作的时候，ones和twos里那一位都会是1。会造成这种情况实际是因为这个bit已经出现过两次，所以在第一次出现的时候，ones里是1，twos里是0，在第二次出现的时候twos里是1，ones里是0。在第三次出现的时候就会是这样。于是乎xthrees就会承担filter的作用清除twos和ones里的这一bit。下面两句就是进行filter的。

所以最后还留在ones里的便是出现过一次的bit。根据题意，数字有出现过三次的和唯一一个出现过一次的。所以某一位bit出现的次数k可能只有两种：k % 3 == 0， 或者 k % 3 == 1。事实上ones里保留的并不是真的只出现过一次的bit，而是k % 3 == 1的bit。但就这样，就足够还原出原来的数字了。

2018-01-20

我觉得真的非常有必要重新回看一下这一题，因为刚看的时候只记得大概是 与或异或的操作却完全不记得具体如何。所以我们再一步步的寻找这一题的答案吧。接下来的所有解答都参考了leetcode的discuss板块，里面的人真的很牛逼。

我们先给出一种非常容易理解的解答。首先要明白因为不是偶数，所以异或的做法不能用了。这里需要统计的是一个整型数32位，每一位出现的次数模除3可以等于1。所以一个非常直观的算法出现了，就是循环数组所有数字32次，记录第一位到第三十二位出现的次数。这样做依旧是符合o(n)的要求的，因为o(32n)依旧是o(n)

给出代码如下

    public int singleNumber(int[] nums) {
        int result = 0;
        int count;
        for (int i = 0; i < 32; i++) {
            count = 0;
            for (int num : nums) {
                if ((num & (1 << i)) != 0) {
                    count++;
                }
            }
            if (count % 3 == 1) {
                result |= 1 << i;
            }
        }
        
        return result;
    }

这种做法的好处在于非常直观，容易理解，而且很好延伸出譬如数组中其他数字出现了任意奇数次的情况（因为偶数次都可以用异或法解决）。但是毕竟常数量是32，performance是没有那么好的。但也能够通过leetcode的检查。

当然，为了达到同样的目的，我们完全不需要32位一个个bit去进行统计。我们可以通过异或运算和与运算一次过达到目的。先给出一段代码如下：

    public int singleNumber(int[] nums) {
        int ones = 0, twos = 0;
        for (int i : nums) {
            ones ^= i & ~twos;
            twos ^= i & ~ones;
        }
        
        return ones;
    }

是不是很神奇，是不是很懵逼？这段代码比我四年前写的代码简单多了，却是同样的效果。

先让我们复习一下异或的效果：1^0 = 1, 0 ^ 1 = 1, 0 ^ 0 = 0, 1 ^ 1 = 0。也就是如果当前位两者一样为0，不一样则为1。所以当我们做ones ^= i & ~twos的时候，表示的是，如果i这个数字用二进制表示时，出现的1而ones没有的（同时twos，也就是出现过两次的也不能有。所以我们做了~twos），就赋予ones，但是如果ones在那些位置上出现了，则表示这些bits出现了不止一次了，需要清零。twos的原理也是一样的，它的二进制表达是出现过两次（模除3）的bits。i ^ ~ones的作用是取得出现在i但没有出现在ones的数字，然后twos和其进行异或，也就是在i为1且没有出现在ones的bit中，出现过在twos的bit清零，没有的话就变成1。这里隐含了一件事情。在ones中，bit为0的情况有两种：一是从来没有出现在之前的数字里，二是出现过又被清理掉。然而如果当我们做twos ^= i & ~ones时，如果ones没有但是i有，其实就是这些在ones中为0的数字就是被当前这个i被清理掉了。所以我们可以确信这个数字出现了两次（模除3）。

简单点说：

一个特定位置上的bit,如果在遍历中出现过1次，那么它会出现在ones里但不会出现在twos里，因为在ones ^= i & ~twos中，ones那个bit是0，i中那个bit是1，~twos中那个bit是1。所以就是 0 ^ (1 & 1) = 1。而在接下来的twos ^= i & ~ones中，twos那个bit是0，i那个bit是1，~ones中那个bit是0（因为one中那个bit刚变成1）。所以就是0 ^ (1 & 0) = 0。

如果出现过两次，那么它会出现在twos里但不会出现在ones里，因为此时的ones ^= i & ~twos是 1 ^ (1 & 1) = 0，而twos ^= i & ~ones就变成了 0 ^ (1 & 1) = 1（推理过程就不重复了）。

当第三次出现的时候，那么ones和twos里面那个bit都会是0。 因为此时的ones ^= i & ~twos是 0 ^ (1 & 0) = 0，而twos ^= i & ~ones就是 1 ^ (1 & 1) = 0。

此时，一个循环就完成了，那么出现第四次，第五次，第六次的时候，就会重复上述第一次，第二次，第三次的流程，长此往复。因为抽掉那个特殊数字，所有bit出现的次数必然为3的倍数，再加入那个特殊的数字，那个特殊数字的二进制的bits就会出现3n + 1次。也就是还剩下在ones里的bits就是那个特殊数字了。其实这里还隐含着一件事情，一个bit，不会同时在ones和twos里存在，因为不会有一个数字模除3同时为1和2，也符合算法特征

我一直在思考怎么简单的去描述这个算法

ones ^= i & ~twos （ones对i说，你有，我没有而且twos没有的给我，但如果我有了，你就吃掉）

twos ^= i & ~ones   (twos对i说，你有，我没有而且ones刚才有的被你吃掉的就给我，但如果我有了，你就吃掉)

这个做法的优点在于真的简洁，思维很聪慧很屌炸天。缺点在于难以理解和扩展（主要是难以理解）。但是也不是不能扩展的，https://discuss.leetcode.com/topic/2031/challenge-me-thx/17 给出了一个可以通过类似思路扩展到如果所有别的数字都出现了5次的情况。然而你们玩得开心，我下次回来再好好斟酌。。。囧rz...