poj-1201 Intervals

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差分约束

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本文介绍了一种解决区间覆盖问题的方法，通过构建图并利用改进的Bellman-Ford算法找到满足给定条件的最小整数集合。算法考虑了区间内的整数数量限制，并通过边权值调整实现有效求解。

题意：给定n个整数闭区间[ai,bi]和n个整数c1-cn，求一个最小的整数集合Z，使得Z里面的数中范围在闭区间[ai,bi]的个数不小于ci个。

思路：首先我们可以知道在ai到bi区间内整数的个数为S[bi]-S[ai-1]（S[i]为从0到I的所有整数个数）我们可以得到约束条件，S[bi]-S[ai-1]>=ci可转换为S[ai-1]-S[bi]<=-ci。

其实还有两个隐藏的条件

1）S[i]-S[i-1]<=1两个相邻的S之间差距不会大于1。

2）S[i-1]-S[i]<=0

之后我们只需要由bi向ai连接一个权值为-ci的有向边来建图，由于有3个约束条件，我们需要改造一下bellman-ford的算法

从0-n-1当dis[v]>dis[u]+w时松弛从min数值到max数值，如果dis[i]>dis[i-1]+1则松弛从max到min如果dis[i-1]>dis[i]则松弛

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mod 100000000
using namespace std;

struct node
{
    int u,v,w;
}s[51000];
int maxn,minn,n;
int dis[51000];
void bellman()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        dis[i]=INF;
    }
    dis[maxn]=0;
    int flag=1;
    while(flag)
    {
        flag=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(dis[s[i].v]>dis[s[i].u]+s[i].w){
                dis[s[i].v]=dis[s[i].u]+s[i].w;
                flag=1;
            }
        }
        for(int i=minn;i<=maxn;i++)
        {
            if(dis[i]>dis[i-1]+1){
                dis[i]=dis[i-1]+1;
                flag=1;
            }
        }
        for(int i=maxn;i>=minn;i--)
        {
            if(dis[i-1]>dis[i])
            {
                dis[i-1]=dis[i];
                flag=1;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int u,v,w;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        maxn=0;
        minn=INF;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            s[i].u=v;
            s[i].v=u-1;
            s[i].w=-w;
            if(maxn<v) maxn=v;
            if(minn>u) minn=u;
        }
        bellman();
        printf("%d\n",-dis[minn-1]);
    }
    return 0;
}