凸锥与对偶锥（二维空间示例）

1. 二维空间凸锥的定义与示例
   • 定义：在二维平面直角坐标系${\mathbb{R}}^2$中，凸锥$K$是满足以下条件的集合。对于任意向量$\mathbf{x}\in K$和任意正数$\lambda >0$，都有$\lambda \mathbf{x}\in K$；并且对于任意$\mathbf{x},\mathbf{y}\in K$和任意$\lambda ,\mu >0$，都有$\lambda \mathbf{x}+\mu \mathbf{y}\in K$。
   • 示例：
     • 第一象限（包括坐标轴）是一个凸锥。设$\mathbf{x}=(x_1,x_2)$是第一象限中的向量，即$x_1\ge 0$且$x_2\ge 0$。对于任意$\lambda >0$，$\lambda \mathbf{x}=(\lambda x_1,\lambda x_2)$，显然$\lambda x_1\ge 0$且$\lambda x_2\ge 0$，所以$\lambda \mathbf{x}$也在第一象限。对于任意两个向量$\mathbf{x}=(x_1,x_2)$和$\mathbf{y}=(y_1,y_2)$在第一象限以及任意$\lambda ,\mu >0$，$\lambda \mathbf{x}+\mu \mathbf{y}=(\lambda x_1+\mu y_1,\lambda x_2+\mu y_2)$，因为$\lambda x_1+\mu y_1\ge 0$且$\lambda x_2+\mu y_2\ge 0$，所以$\lambda \mathbf{x}+\mu \mathbf{y}$也在第一象限。
     • 上半平面$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y\ge 0\}$也是凸锥。对于任意向量$(x,y)$在上半平面和正数$\lambda >0$，$\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y)$，由于$y\ge 0$且$\lambda >0$，所以$\lambda y\ge 0$，即$\lambda (x,y)$在上半平面。对于任意两个向量$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$在上半平面以及任意$\lambda ,\mu >0$，$\lambda (x_1,y_1)+\mu (x_2,y_2)=(\lambda x_1+\mu x_2,\lambda y_1+\mu y_2)$，因为$y_1\ge 0$，$y_2\ge 0$，$\lambda >0$，$\mu >0$，所以$\lambda y_1+\mu y_2\ge 0$，即$\lambda (x_1,y_1)+\mu (x_2,y_2)$在上半平面。
     • 可以证明，二维空间中由同一个点引出的任意两条射线所包围的凸区域（夹角小于180度的区域）都是凸锥
2. 二维空间对偶锥的定义与计算方法
   • 定义：设$K$是${\mathbb{R}}^2$中的凸锥，它的对偶锥$K^{\ast }$定义为K∗={y∈R2∣⟨x,y⟩≥0,∀x∈K}K^*=\{\mathbf{y}\in\mathbb{R}^2|\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle\geq0,\forall\mathbf{x}\in K\}K∗={y∈R2∣⟨x,y⟩≥0,∀x∈K}，其中$⟨\cdot ,\cdot ⟩$表示向量的内积（在${\mathbb{R}}^2$中，若$\mathbf{x}=(x_1,x_2)$和$\mathbf{y}=(y_1,y_2)$，则$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2$）。
   • 计算示例：
     • 若$K$是第一象限（包括坐标轴）这个凸锥，计算其对偶锥$K^{\ast }$。对于任意$\mathbf{x}=(x_1,x_2)\in K$（即$x_1\ge 0$且$x_2\ge 0$）和$\mathbf{y}=(y_1,y_2)$，要使$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2\ge 0$对所有$\mathbf{x}\in K$成立。显然，当$y_1\ge 0$且$y_2\ge 0$时满足条件，所以$K^{\ast }$也是第一象限（包括坐标轴）。
     • 若$K$是上半平面$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y\ge 0\}$，对于任意$\mathbf{x}=(x,y)\in K$（即$y\ge 0$）和$\mathbf{y}=(y_1,y_2)$，$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=x{y}_1+y{y}_2\ge 0$对所有$\mathbf{x}\in K$成立。当$y_1=0$且$y_2\ge 0$时满足条件，所以$K^{\ast }$是$\{(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2|y_1=0,y_2\ge 0\}$，即纵坐标轴正半轴。
3. 凸锥与对偶锥的性质
   • 凸锥$K$和它的对偶锥$K^{\ast }$都是凸集。对于凸锥$K$，根据定义可以直接验证其凸性；对于对偶锥$K^{\ast }$，设${\mathbf{y}}_1,{\mathbf{y}}_2\in K^{\ast }$，对于任意$\mathbf{x}\in K$，有$⟨\mathbf{x},{\mathbf{y}}_1⟩\ge 0$且$⟨\mathbf{x},{\mathbf{y}}_2⟩\ge 0$。对于任意$\lambda \in [0,1]$，$⟨\mathbf{x},\lambda {\mathbf{y}}_1+(1-\lambda ){\mathbf{y}}_2⟩=\lambda ⟨\mathbf{x},{\mathbf{y}}_1⟩+(1-\lambda )⟨\mathbf{x},{\mathbf{y}}_2⟩\ge 0$，所以$\lambda {\mathbf{y}}_1+(1-\lambda ){\mathbf{y}}_2\in K^{\ast }$，即$K^{\ast }$是凸集。
   • 若$K$是闭凸锥（包含边界且满足凸锥定义的集合），则$(K^{\ast }{)}^{\ast }=K$。这个性质表明凸锥和它的双重对偶锥是相等的，体现了一种对偶的对称性。
   • 对于$E$空间中的两个闭凸锥$K_1,K_2$,读者可以自行证明以下性质：$[conv(K_1\cup K_2){]}^{\ast }=K_1^{\ast }\cap K_2^{\ast }$ ，$(K_1\cap K_2{)}^{\ast }=conv(K_1^{\ast }\cup K_2^{\ast })$，其中$conv$表示凸包。