EM算法

“种一棵树最好的时间是十年前，其次是现在”

EM算法，Expectation-Maximization，期望最大算法。EM算法用于解决包含隐变量的参数估计问题。

1 Jensen不等式

设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，$f^{{}^{\prime \prime }}(x)\ge 0$，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其Hessian矩阵H是半正定的($H\ge 0$)，那么f是凸函数。如果$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$或$H>0$，那么称f是严格的凸函数。

Jensen不等式如下表述：
如果f是凸函数，X是随机变量，那么
$$E(f(x))\ge f(E(X))$$

特别地，如果f是严格凸函数，那么$E(f(X))=f(E(X))$当且仅当$p(x=E(x))=1$，也就是x是常量。

当f是（严格）凸函数当且仅当-f是（严格）凸函数。
当Jensen不等式应用于凹函数时，不等式反号，即$E[f(X)]\le f(E[X])$。

2 EM算法

给定训练样本集{x1,x2,⋯ ,xm}\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}{x1​,x2​,⋯,xm​}，样例间相互独立，我们的目的是找到每个样例的隐含类别z，从而能够使得$p(x,z)$最大。p(x,z)的最大似然估计为：
$$\begin{gathered} l(\theta )=\sum _{i=1}^m\log p(x;\theta ) \\ =\sum _{i=1}^m\log \sum _{z}p(x,z;\theta ) \end{gathered}$$
第一步是对极大似然求对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合概率分布。但是因为有隐变量z的存在，直接求解参数$\theta$一般比较困难。在确定了隐变量z之后，求解参数$\theta$就比较容易了。

EM算法是一种解决存在隐含变量的优化问题的有效方法。既然不能直接最大化$l(\theta )$，那么我们可以不断的建立函数l的下界(E步)，然后在M步中不断的优化该下界。

对于每一个样例i，我们假设分布$Q_i$表示样例隐含的类别的分布，那么有$Q_i(z)\ge 0,{\sum }_z{Q}_i(z)=1$。

对于上面介绍的最大似然估计，有：
$$\begin{gathered} \sum _i\log p(x^{(i)};\theta )=\sum _i\log \sum _{z^{(i)}}p(x^{(i)},z^{(i)};\theta ) \\ =\sum _i\log \sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})} \\ \ge \sum _i\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

上式的最后一个不等号式子是利用了Jensen不等式，因为log函数的二阶导数恒小于0，为凹函数。而且${\sum }_{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$为$\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$的期望。基于Jensen不等式可得最后一个式子。

补充知识：
X为离散型随机变量，它的分布律$P(X=x_k)=p_k，k=1,2,\cdots$。若${\sum }_{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$绝对收敛，则有
$$E(Y)=E[g(X)]=\sum _{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$$

上述等式(1)可以看作是对$l(\theta )$求了下界。对于$Q_i$的选择，有多种可能，哪个更好呢？假设$\theta$已经给定，那么$l(\theta )$的值就取决于$Q_i(z^{(i)})和p(x^{(i)},z^{(i)})$，我们可以通过调整这两个概率值使得下界不断上升，以逼近$l(\theta )$的最大值，那么什么时候算是调整好了呢？结果就是使得式子(1)中的不等式变成等号的时候。那么在什么时候等式成立呢，按照第一部分对Jensen不等式的阐述可知，只有在变量为常数的时候等号才成立。即$\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}=c$。

由于${\sum }_z{Q}_i(z^{(i)})=1$，那么也就有${\sum }_{z}p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )=c$（因为多个分子分母相加不变，那么认为每个样例的两个概率比值都是c），因此有：
$$\begin{gathered} Q_i(z^{(i)})=\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{{\sum }_{z}p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )} \\ =\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{p(x^{(i)};\theta )} \\ =p(z^{(i)}|x^{(i)};\theta ) \end{gathered}$$

至此，我们推导出了，在固定其他参数的情况下，$Q_i(z^{(i)})$的计算公式就是后验概率，解决了$Q_i(z^{(i)})$如何选择的问题。这一步就是E步，建立似然函数$l(\theta )$的下界。接下来就是M步，就是在给定$Q_i(z^{(i)})$后，调整$\theta$，去极大化$l(\theta )$的下界。

一般EM算法的步骤如下：
循环直至收敛{
（E步）对于每一个样本i，计算：
$$Q_i(z^{(i)}):=p(z^{(i)}|x^{(i)};\theta )$$
（M步）计算
$$\theta :=argma{x}_{\theta }\sum _i\sum _{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$$
}

EM算法收敛性证明：
上面已经说明了EM算法的E步是建立似然函数$l(\theta )$的下界，M步是调整参数去极大化$l(\theta )$的下界。那么我们该如何保证EM算法一定可以收敛呢？

假定${\theta }^{(t)}$和${\theta }^{(t+1)}$是EM算法第t次和第t+1次迭代后的结果，如果能够证明$l({\theta }^{(t)})\le l({\theta }^{(t+1)})$，那么就证明了似然函数可以单调增加，那么经过多轮迭代后一定可以得到最大似然估计的最大值。

下面进行证明过程：
选定参数${\theta }^{(t)}$后，我们就得到了E步：
$$Q_i(z^{(i)}):=p(z^{(i)}|x^{(i)};{\theta }^{(t)})$$
这一步保证了在给定了${\theta }^{(t)}$时，Jensen不等式的等号成立，即$l({\theta }^{(t)})={\sum }_i{\sum }_{z^{(i)}}{Q}_i(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta )}{Q_i(z^{(i)})}$

然后进行M步，固定$Q_i^{(t)}(z^{(i)})$，上式$l({\theta }^{(t)})$对${\theta }^{(t)}$进行求导，再进行一些求导后，可得：
$$\begin{gathered} l({\theta }^{(t+1)})\ge \sum _i\sum _{z^{(i)}}{Q}_i^{(t)}(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};{\theta }^{(t+1)})}{Q_i^{(t)}(z^{(i)})} \\ \ge \sum _i\sum _{z^{(i)}}{Q}_i^{(t)}(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};{\theta }^{(t)})}{Q_i^{(t)}(z^{(i)})} \\ =l({\theta }^{(t)}) \end{gathered}$$

上面推导的第一步是因为得到 ${\theta }^{(t+1)}$时，只是最大化$l({\theta }^{(t)})$，也就是$l({\theta }^{(t+1)})$的下界，而并没有使得等号成立，等式成立只有在固定$\theta$，并按照E步得到$Q_i$时才成立。
第二步利用了M步的定义， M步是将${\theta }^{(t)}$调整到了${\theta }^{(t+1)}$，使得$l({\theta }^{(t)})$最大化。

上面的证明过程说明了$l(\theta )$函数会单调增加，因此经过多轮迭代后，会收敛到$l(\theta )$的极大值。

3 总结

如果将样本看做是观察值，潜在的样本类别看做是隐含变量，那么聚类问题就是参数估计问题，只不过聚类问题中参数分为隐含类别变量和其他参数。在两类参数都未知时，无法直接求导求解参数，但在固定类别参数时，可以对其他参数进行求导求解。对应到EM算法上，E步是固定其他参数估计隐含的类别参数，方法是求解后验概率；M步是固定隐含的类别参数求解其他参数。依次迭代，将极值推导最大。

混合高斯聚类相比于k-means聚类算法，类别指定是“软”指定，即计算样本属于各类的概率，这样理论上更为合理，但计算量也更大。

参考

CS229

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