主成分分析PCA算法：为什么要对数据矩阵进行均值化？

原创于 2024-10-28 16:28:48 发布 · 842 阅读

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在统计学和机器学习中，主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） 是一种用于降维的重要方法。通过将原始数据投影到一个新的坐标系上，PCA 能够帮助我们找到数据中的主要特征，并且减少维度的同时尽可能地保留有用的信息。在实际操作中，PCA 的第一步通常是对数据集进行中心化处理，也就是将所有变量减去各自的平均值，使得新数据集的每一列（或每个特征）的均值为零，这一过程被称为 均值化。

那么，为什么我们要这样做呢？主成分分析也是CDA考试中的常见考点，本文将尝试从数学角度、几何意义以及实际应用三个方面来探讨这个问题，并在最后结合一个生活中的例子来加深理解。

数学角度

1. 协方差矩阵

PCA 的核心是计算数据集的协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称的方阵，其元素表示了数据集中两个不同变量之间的线性关系强弱和方向。具体来说，协方差矩阵的对角线上存放的是各个变量自身的方差，而非对角线上的元素表示了不同变量之间的协方差。

当数据经过均值化处理后，协方差矩阵实际上就变成了数据矩阵与其转置相乘的结果，即 (\Sigma = \frac{1}{N}XX^T) （这里假设 (X) 已经是中心化的）。这种形式更加简洁，并且更容易通过特征分解求解得到主成分的方向。

2. 方差最大化

PCA 的目标是在降低数据维度的同时，尽量保持原始数据的方差不变。为了实现这一点，PCA 将寻找这样一个变换矩阵 (W) ，使得转换后的数据 (Y = XW) 具有最大的方差。具体而言，PCA 寻找的第一个主成分 (w_1) 是使得 (w_1^T\Sigma w_1) 最大的单位向量，其中 (\Sigma) 为数据的协方差矩阵；而第二个主成分 (w_2) 则是在与 (w_1) 正交的条件下，使得 (w_2^T\Sigma w_2) 最大，以此类推。

如果不对数据进行均值化处理，那么数据集的均值将会出现在协方差矩阵中，这会使得协方差矩阵变得不再对称，从而影响到特征值和特征向量的计算结果。因此，在实际操作中，我们通常先将数据集的每一列都减去它们的平均值，使数据集的均值为零，然后再去计算协方差矩阵。

3. 计算复杂度

对于非中心化的数据，计算协方差矩阵时还需要额外考虑数据的均值，这会增加计算的复杂度。相反，如果数据已经中心化，则可以直接利用简化公式来计算协方差矩阵，从而提高计算效率。此外，均值化也有助于避免由于数据分布的偏斜而导致的一些数值稳定性问题。

几何意义

1. 平移不变性

当我们谈论数据的形状时，其实关注的是数据之间的相对位置关系，而不是绝对的位置。换句话说，我们关心的是数据点之间的距离和方向，而不是数据点本身在空间中的具体位置。从这个角度来看，对数据进行均值化处理实际上就是将数据整体平移到原点附近，使得数据点之间的相对位置关系更加明显。

在二维平面中，可以想象一个椭圆数据集，如果我们不将它平移到原点附近，那么在计算主成分时，这个椭圆可能会绕着它的质心旋转，而不是绕着坐标原点旋转。但是，一旦我们将这个椭圆平移到原点附近，那么无论这个椭圆如何旋转，它的长轴始终会指向坐标轴方向，这就是 PCA 所要寻找的主成分方向。

2. 方向不变性

在 PCA 中，我们关注的是数据的方差最大方向，而这个方向实际上只与数据点之间的相对位置有关，而不受数据整体位置的影响。因此，对数据进行均值化处理并不会改变数据的方差最大方向，因为均值化只是简单地将数据整体平移到原点附近，而不改变数据点之间的相对位置关系。从这个角度来看，均值化不会影响 PCA 的结果，但却可以简化计算过程，使得 PCA 更容易实现。

实际应用

1. 数据标准化

在实际应用中，数据通常来自不同的传感器或者测量设备，这些设备可能会有不同的测量范围和精度。如果不进行数据标准化处理，那么某些变量可能占据主导地位，导致 PCA 结果偏向于某些特定变量，而忽略了其他变量的重要性。因此，通过对数据进行均值化处理，我们可以消除不同变量之间的量纲差异，使得 PCA 结果更加合理和可靠。

2. 数据可视化

在数据可视化过程中，我们通常需要将高维数据投影到低维空间中，以便于观察和分析。如果不对数据进行均值化处理，那么在投影过程中可能会出现一些不必要的扭曲现象，使得数据之间的相对位置关系变得模糊不清。但是，一旦我们将数据平移到原点附近，那么在投影过程中就可以更好地保持数据之间的相对位置关系，从而使得数据可视化结果更加清晰和直观。

3. 异常检测

在异常检测过程中，我们通常需要根据数据之间的相似性和差异性来判断哪些数据点是正常的，哪些数据点是异常的。如果不对数据进行均值化处理，那么在计算相似性和差异性时可能会受到数据整体位置的影响，导致判断结果出现偏差。但是，一旦我们将数据平移到原点附近，那么在计算相似性和差异性时就可以更好地反映数据点之间的本质特征，从而提高异常检测的准确性和可靠性。

生活中的例子

假设你正在为一家电商公司分析用户的购物行为。你手头有一份包含用户年龄、性别、购买次数、购买金额等多个变量的数据集，希望通过 PCA 来找出影响用户购买行为的主要因素。

在这个例子中，你可以将数据集想象成一个三维空间中的点云，其中每个点代表一个用户，而每个维度则代表一个变量。如果不对数据进行均值化处理，那么这些点可能会分布在空间中的任意位置，导致很难看出它们之间的规律。但是，一旦你将这些点平移到原点附近，那么就可以更清楚地看到它们之间的分布情况，从而更容易发现影响用户购买行为的主要因素。

例如，你可能会发现这些点在某个方向上的分布非常密集，而在其他方向上的分布则比较稀疏。这说明在那个方向上的变量对用户购买行为的影响较大，而其他方向上的变量则影响较小。通过进一步分析，你可能会发现那些变量正是用户年龄、购买次数等重要因素，从而帮助公司更好地制定营销策略和改进产品设计。

通过这个例子，我们可以更直观地理解为什么在 PCA 中需要对数据进行均值化处理。只有将数据平移到原点附近，才能更好地反映出数据之间的本质特征，从而提高数据分析的准确性和可靠性。