pku2253 Frogger

题目链接：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2253

题意简述：给定一系列点的坐标，求一点到另一点的一条路径，使得该路径中的最大边权最小。

解题思路：此题有两种方法求解，一种是最小生成树，另一种就是用最短路的变形求解。当时用的是最短路变形。其关键的松弛方程为：L[i]=min(max(L[j],map[j][k]),L[i])。

简单证明：首先不能说u->v路径中的最大边权最小，则其中一个子路径的最大边权最小。

但是若子路径的最大边权最小的话，则有max(L[j],map[j][k])<=max(L[j]’,map[j][k])。从而，L[i]=min(max(L[j],map[j][k]),L[i])<=L[i]’,所以这个关系满足松弛条件。（证毕）

代码：

#include<iostream> #include<string.h> #include<math.h> #include<iomanip.h> using namespace std; double d[205][205]; double L[205]; bool flag[205]; const double INF=999999999.0; struct Dij{ double x,y; }p[205]; int main() { int n; int Case=1; while(cin>>n&&n) { memset(d,0,sizeof(d)); memset(flag,false,sizeof(flag)); double x,y; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); L[i]=INF; } for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) d[i][j]=d[j][i]=(double)sqrt((p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y)); L[1]=0.0; for(int i=2;i<=n;i++) L[i]=(double)sqrt((p[i].x-p[1].x)*(p[i].x-p[1].x)+(p[i].y-p[1].y)*(p[i].y-p[1].y)); int k=1; while(k!=2) { double Min=INF; for(int i=1;i<=n;i++) if(!flag[i]) if(L[i]<Min) { Min=L[i]; k=i; } flag[k]=true; for(int i=1;i<=n;i++) if(d[k][i]>0) L[i]=min(max(L[k],d[k][i]),L[i]); } cout<<"Scenario #"<<Case++<<endl; cout<<"Frog Distance = "<<setprecision(3)<<fixed<<L[2]<<endl; cout<<endl; } return 0; }