扩展欧几里德

最新推荐文章于 2017-08-24 21:56:00 发布

ccsu_001

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分类专栏：数学文章标签：扩展 output 算法 input c 语言

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扩展欧几里德

2009-09-09 21:45

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。

算法描述为：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　return a;
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　return r;
　　}
　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
　　可以这样思考:
　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
　　那么可以得到:
　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)。

下面就一个题目来讲讲：

青蛙的约会

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 10000K
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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

关于这题的解法：

由题意:
       (x+mt)-(y+nt)=pL
=>(m-n)t-(y-x)=pL
=>(m-n)t-pL=(y-x) 即  (m-n)t≡(y-x)MOD(L)
令a=m-n,b=L,c=y-x,X=t,Y=p
 
则原等式转换为 aX-bY=c
使用扩展欧几里德 求出一组解X0,Y0=>aX0-bY0=GCD(a,b)
令d=GCD(a,b) 若c%d!=0 则无解
否则对于等式
aX0-bY0=d
=>a[X0/d]-b[Y0/d]=1
=>a[c*X0/d]-b[c*Y0/d]=c
此时c*X0/d即为所求的t
可以证明其为在0附近的最小解，由于c可能小于0，则加b（X增b，Y减a,和不变）使之为正解。
 
以下是写了很久但很短的AC代码：
#include<iostream>
using namespace std;
__int64 X,Y;
__int64 exgcd(int a,int b)
{
       if(b==0)
       {
           X=1;
           Y=0;
           return a;
       }
       __int64 d=exgcd(b,a%b);
       __int64 t=X;
       X=Y;
       Y=t-(a/b)*X;
       return d;
}           
int main()
{
       __int64 x,y,m,n,l;
       while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)
       {
           __int64 a=m-n;
           __int64 b=l;
           __int64 c=y-x;
           if(a<0)
           {
               a=-a;
               c=-c;
           }
           __int64 d=exgcd(a,b);
           if(c%d!=0||m==n)
               cout<<"Impossible"<<endl;
           else
           {
               c/=d;
               b/=d;
               cout<<((c*X)%b+b)%b<<endl;
           }
       }
       return 0;
}