紫书第七章-----暴力求解法（全排列算法）

递归求全排列

/*
    本程序是递归实现全排列算法。
    思想是分别让谁打头。以1，2，3，4为例，一共只有4位，
    第一位可以分别让1，2，3，4打头，以第一位是1为例，
    第二位可以分别让2，3，4打头，以第二位是2为例，
    第三位可以分别让3，4打头，以第三位是4为例，
    第四位固定是4，输入此排列。
    其他情况类似输出。

    去重：以序列1，2，2，3为例，一共四位，一共3个不同的数，
    第一位可以让1，2，3打头，以第一位是1为例，
    第二位可以让2打头，以第二位为2为例，
    第三位的时候，由于前两位中已经出现了2，和第三位相同，不能让2第二次打头，所以，
    下面的算法为了去除重复排列，没有让1与第三个2交换。

*/

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

//去重复函数
bool is_swap(int a[],int st,int en){
    for(int i=st;i<en;i++){
        if(a[i]==a[en]) return false;
    }
    return true;
}
//全排列算法
void per(int a[],int st,int en){
    if(st==en){
        for(int i=0;i<en;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    else{
        for(int i=st;i<en;i++){
            if(is_swap(a,st,i)){
                swap(a[st],a[i]);
                per(a,st+1,en);
                swap(a[st],a[i]);//注意这里，解释一下，比如1，2，3，4的
                //全排列，以1打头的排列都求出后，重新调整为1，2，3，4，以
                //2打头的排列都求出后，重新调整为1，2，3，4等等，内层递归亦如此
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int a[4]={1,2,2,3};
    per(a,0,4);
    return 0;
}

STL中的next_permutation求全排列

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int a[4]={1,2,2,3};
    sort(a,a+4);
    do{
        for(int i=0;i<4;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }while(next_permutation(a,a+4));
    return 0;
}

解答树

参考刘汝佳《算法竞赛入门经典》（第2版）

以上面递归求全排列的算法为例，下面的树展示了递归的过程。

第0层：（，，，）
第1层：（1，，，）、（2，，，）、（3，，，）、（4，，，）
第2程：
上面1打头的子结点是（1，2，，）、（1，3，，）、（1，4，，）
上面2打头的子结点是（2，1，，）、（2，3，，）、（2，4，，）
上面3打头的子结点是（3，1，，）、（3，2，，）、（3，4，，）
上面4打头的子结点是（4，1，，）、（4，2，，）、（4，3，，）

……

把上面的画成树，就是解答树。下面求一下解答树的结点个数：
第一层：n
第二层：n*(n-1)
第三层：n*(n-1)*(n-2)
……
第i层：n*(n-1)(n-2)…*(n-(i-1))=n!/(n-i)!
总的结点数是n!*(1/(n-1)!+1/(n-2)!+…+1/1!+1/0!)，由泰勒展开式可知该式子趋向e*n!，则总结点数小于e*n!，又低第n层和第n-1层的结点数都是n!，最后两层的结点数目占据了2*n!，所以，多数情形下，解答树上的借电脑几乎全部来源于最后一两层。

参考刘汝佳《算法竞赛入门经典》（第2版）：
如果某问题的解可以由多个步骤得到，而每个步骤都有若干种选择（这时候选方案集可能会依赖于先前作出的选择），且可以用递归枚举法实现，则它的工作方式可以用解答树描述。