微分中值定理—罗尔中值定理

我们所说的微分中值定理，一般指三大微分中值定理。它包含

• 以米歇尔·罗尔的名字命名的--罗尔中值定理

• 以约瑟夫·路易·拉格朗日的名字命名的--拉格朗日中值定理

• 以及以奥古斯丁-路易·柯西的名字命名的--柯西中值定理

其中罗尔中值定理是基础,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的推广。那么它们到底在讲什么呢？这节课，我们就来学习它们中的第一个，罗尔中值定理。

1 定义

定理（罗尔中值定理）. 如果函数 满足：

• 在闭区间 上连续

• 在开区间 上可导

• 

那么 ，使得 。

若 是这样一个函数,在 内闭区间连续，开区间可导。则，在 区间内，至少存在一个导数为零的点。而我们知道，导数就是切线的斜率。斜率为零，意味着是水平的。那么存在一个导数为零的点，从几何上看，就是存在一个点，这个点的切线是水平的。

2 往返跑

对于折返跑，相信大家并不陌生,它的最大特点是，起点和终点在同一个位置。

下面，我们以时间为横坐标,位移为纵坐标建立坐标系。假设开始的时刻为 ,此时的位移为 。

当跑到最远位置的时候,位移最大，也就是函数值来到了最高点。

接着开始折返往回跑，函数值也就开始回落，当最后回到起点位置时，又来到了位移为 的位置。

可以看到，此时这个时间位移函数,在 内,闭区间连续,开区间可导,且在起点时刻( ),与终点时刻( ),的函数值( )是相同的,也就是说，这个时间位移函数，是符合罗尔中值定理的条件的。

那么按照定理的描述，就应该有个点导数为零,哪个点呢---最高这个点。

因为纵坐标为位移，那么最高这个点，其实就是距离起点最远的这个位置,此时折返跑要完成转向,因此必然出现一个速度为零的时刻。

而我们知道，瞬时速度就是位移相对于时间的导数,假设我们在 这个时间点,速度为零,那么过 点的切线就是水平的

3 细节

3.1 至少一个点导数为零

罗尔中值定理中说的是，导数为零的点至少有一个，隐含意思是，导数为零的点可能有多个。

3.2 开区间可导

不少同学会疑惑，能不能将罗尔中值定理的条件进行如下修改？

答案是不可以，因为这样的修改并不等价，比如：

上述函数 就刚好满足“在闭区间 上连续，在开区间 上可导”，其在端点 和 处不可导，它也是可以运用罗尔中值定理的，即 使得 （甚至还有无穷多个）：