圆的面积为什么是π r²

最新推荐文章于 2024-06-28 16:33:40 发布

原创最新推荐文章于 2024-06-28 16:33:40 发布 · 3.4k 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#高等数学 #微积分 #几何学

高等数学专栏收录该内容

44 篇文章

订阅专栏

本文通过逐步解析内接多边形的方法，详细介绍了如何利用逼近思想推导出圆的面积公式πr²。从内接等边三角形开始，到内接等边四边形、五边形，展示随着边数增加，内接多边形面积逐渐逼近圆面积的过程，最终得出极限即为πr²的结论。

圆的面积(上)--面积为什么是πr²

相信同学们都知道，圆的面积为 $\pi r^2$ 。也都知道，可以用逼近的思想，用内接多边形来得到这个答案。

但你知道具体是如何操作的吗？本文就带同学们来推导一下。

1 内接等边三角形

先从最简单的内接等边三角形看起。

首先标出圆心和三角形的三个顶点，并且连接它们。这样就得到了大小相等的三个小三角形。

我们知道，两边及其夹角可以通过公式 $S_\Delta=\frac{1}{2}ab\sin\theta$ 得到三角形的面积。

此时，假设圆的半径为 $r$ ，则小三角形的两条边为 $r$ ，再加上圆心角为 $120^\circ$ 很容易得到小三角形的面积为 $\frac{1}{2}r^2\sin 120^\circ$

则内接等边三角形的面积为 $\frac{3}{2}r^2\sin 120^\circ$

2 内接等边四边形

看完了内接等边三角形，下面来看看内接等边四边形。

还是一样的标出圆心和顶点，并且连接它们。这样就得到了大小相等的四个小三角形。

此时圆心角为 $90^\circ$ ，则小三角形的面积为 $\frac{1}{2}r^2\sin 90^\circ$ 。

继而得到内接等边四边形的面积为 $\frac{4}{2}r^2\sin 90^\circ$

3 内接等边五边形

再来看看内接等边五边形。

还是一样的标出圆心和顶点，并且连接它们。这样就得到了大小相等的五个小三角形。且因为圆心角为 $72^\circ$ ，所以内接等边五边形的面积为 $\frac{5}{2}r^2\sin 72^\circ$

4 规律

算完了三个内接多边形的面积，下面来找找规律

将角度用弧度值来表示

写成弧度值后，很容易看出，内接多边形的通项为 $\frac{n}{2}r^2\sin \frac{2\pi}{n}$

$\{\frac{\color{red}{3}}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{\color{red}{3}}, \frac{\color{red}{4}}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{\color{red}{4}}, \frac{\color{red}{5}}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{\color{red}{5}},\cdots, \frac{\color{red}{n}}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{\color{red}{n}}\}$

将 $n=5,n=6,n=7\cdots$ 带入上式，可以得到下面这个图

可以看到随着 $n$ 不断增大，内接多边形的面积不断逼近 $\pi r^2$ ，也就是其极限为 $\pi r^2$

$\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi r^2$

最后，我们来验算一下

5 计算

令 $t=\frac{1}{n}$ ,则

$\begin{align}\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{n}&= \lim_{t\to 0}\frac{\sin 2t\pi}{2t}r^2\\\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{\pi\sin 2t\pi}{2t\pi}r^2=\pi r^2\end{align}$