模运算的技巧

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模运算规则， 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下
    (a + b) % n = (a % n + b % n) % n             （1）
    (a - b) % n = (a % n - b % n) % n             （2）
    (a * b) % n = (a % n * b % n) % n             （3）
    ab % n = ((a % n)b) % n                      （4）

JavaScript 中模运算的全面解析及实际应用
一萧烟雨任平生
12-07 1259
在 JavaScript 中， 是模运算符，用于获取两个数相除后的余数。尽管它简单，但在实际开发中有着广泛的应用。本文将带你全面了解模运算的原理，并通过多个实际工作中的应用示例，帮你掌握它的使用技巧。模运算的公式如下： 分布演算举例 其中：例如： 如果希望模运算结果始终是非负数，可以使用以下公式： 模运算的常见应用场景 1. 判断奇偶性 通过模运算快速判断一个数是奇数还是偶数： 2. 数组循环操作 在循环访问数组时，通过模运算确保索引始终合法。 3. 分组数据 模运算可以帮助我们将数据均匀分组： 4. 实
关于取模运算的小技巧
xinjaystudio的博客
05-30 3747
取模运算的定义：
hdu 1097
u010107162的专栏
03-02 890
思路： 模运算： 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下： (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1） (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3） (a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）
减小模运算时间复杂度的小技巧
05-20 461
　　昨天兄弟问我一个模运算的题，怎么写怎么超时，要么WA，两个菜鸟讨论了半天也没讨论出个所以然来。后天问了别人，感觉这种写法很实用啊，就先存在这里。 　　题目是SDUST OJ上的，题目如下： Problem U: 开心的小杰 Time Limit:1 SecMemory Limit:128 MBSubmit:135Solved:25[Submit][Statu...
模运算法则
x_i_y_u_e的专栏
03-07 8794
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下： (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (a^b) % p = ((a % p)^b) % p 推论： 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (
模运算总结
luckcircle的博客
10-26 1652
模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。 　　例如11 Mod 2，值为1 　　上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理： 　　Turbo Pascal对mod的解释是这样的：
求模（取模）在线计算器
fei0700的博客
10-19 9222
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简单了解python的一些位运算技巧
09-19
通常情况下，我们会使用模运算 `%` 来判断一个数是奇数还是偶数。但更高效的方法是利用位运算。因为所有偶数的最低位都是0，而所有奇数的最低位都是1。因此，我们可以通过与1进行按位与运算 (`&`) 来判断一个数是...
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10-20
例如，本站推荐的《smarty模板入门基础教程》可以作为初学者的启蒙教材，而对于想要掌握更多PHP开发技巧的读者，《PHP模板技术总结》、《PHP基于pdo操作数据库技巧总结》等文章则提供了丰富的技术细节和实际应用场景...
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计算器2
weixin_30631587的博客
07-27 124
给你一个不带括号的表达式，这个表达式只包含加、减、乘、除，请求出这个表达式的最后结果，最后结果一定是整数(不是原题，不过就是这种类型)； Input 一个数学表达式，只包括数字，数字保证是非负整数，以及五种运算符"+","-","*","/"，"="；数字和运算符之间有一个或者多个空格，运算符的总数不会超过100，最后以"="号结尾，表示表达式结束。 Output 整数； Sample ...
模（Mod）运算的运算法则
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一、定义 对于任意实数x,y,可以有 模(Mod)在一些场合，可以使用符号%表示，它是一个二元运算。x mod y的值都介于0和模之间： 其中y=0,为了避免用零做除数，为了完整起见，我们定义 x mod 0 = x. 二、 运算法则 模（Mod）运算的规则、公式与基本四则运算有些类似，但是除法例外。其规则如下： 模运算满足结合律、交换律、分配率，具体如下： A. 结合律 ((a+b)%p+...
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模运算 基本规则 模运算的基本规则与四则运算基本一致： (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a – b) % p = (a % p – b % p) % p (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (a^b) % p = ((a % p)^b) % p 这里没有除法的模运算是因为除法取模较为特殊。 除法取模 除法取模首先需要知道小费马定理。 小费马定理 乘法逆元 定义： 对于整数a,p且gcd(a,p)==1，则一
密码学：模的运算及其规则
mochounv的专栏
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本文转自，比较简洁地讲明了模的各种概念，尤其是逆元 https://blog.youkuaiyun.com/paradox_1_0/article/details/89926847?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.edu_weight&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFrom
计算机基础-取模
fanqiliang630的博客
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引言. 在做算法题的过程中，经常需要取模操作，对结果模上1e9+7或者1e9+9或者998244353。但有时会发现题目A不了最后是取模的问题，为了在日后的题目完成过程中避免因取模而出错，因此整理一下取模相关的知识。 文章目录引言.1. 取模运算和取余运算：2. 为什么总是对这几个数取模?3. 扩展欧几里德算法[^1]:3.1 欧几里德算法(也叫辗转相除法):3.2 扩展欧几里德算法:3.2.1 符号约定:3.2.2 算法思想:3.2.3 求模逆元:3.2.3.1 费马小定理:3.2.3.2 扩展欧几里德算
【数论基础】模运算详解及其应用
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同余定理——简单理解与使用
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Jeff_的博客
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1.快速幂取模 http://www.cnblogs.com/yinger/archive/2011/06/08/2075043.html 快速幂取模就是在O(logn)内求出a^n mod b的值。算法的原理是ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c  long exp_mod(long a,long n,long b) { long t; if(...
模运算（%）
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<think>我们正在讨论模运算（%）的原理、应用及使用示例。根据引用[1]，模运算是求两个数相除后的余数，在计算机中常用位运算优化效率，广泛应用于哈希、加密等领域。以下我将系统阐述： ### 一、模运算原理 设 $a$ 和 $b$（$b \neq 0$）为整数，模运算定义为： $$ a \% b = a - b \times \lfloor a/b \rfloor $$ 其中 $\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整。例如： - $17 \% 5 = 17 - 5 \times \lfloor 17/5 \rfloor = 17 - 5 \times 3 = 2$ - $-17 \% 5 = -17 - 5 \times \lfloor -17/5 \rfloor = -17 - 5 \times (-4) = 3$（某些语言如Python的结果） > 关键性质：结果符号取决于编程语言设计（C语言结果符号与被除数相同，Python与除数相同）[^1]。 ### 二、核心应用领域 1. **哈希函数** 将任意大小数据映射到固定范围（如哈希表槽位）。例如长度为 $m$ 的哈希表： $$ \text{index} = \text{key} \% m $$ 通过模运算保证索引落在 $[0, m-1]$ 内[^1]。 2. **密码学** - RSA加密依赖模幂运算：$c = m^e \mod n$ - 椭圆曲线加密（ECC）中的点运算也基于模算术[^1]。 3. **循环结构** - 实现环形缓冲区和周期性任务调度： ```c int next_index = (current_index + 1) % buffer_size; ``` 4. **校验码计算** - ISBN号码、信用卡号通过模运算验证有效性（如Luhn算法）[^1]。 ### 三、代码示例 #### 1. 判断奇偶性（模2运算） ```python def is_even(n): return n % 2 == 0 # 当n为偶数时返回True ``` #### 2. 循环队列实现 ```c #define SIZE 10 int queue[SIZE]; int front = 0, rear = 0; void enqueue(int item) { if ((rear + 1) % SIZE == front) printf("Queue full\n"); else { queue[rear] = item; rear = (rear + 1) % SIZE; // 利用模运算实现环形索引 } } ``` #### 3. 模幂运算（加密基础） ```python def mod_exp(base, exponent, modulus): result = 1 base = base % modulus # 预先取模减少计算量 while exponent > 0: if exponent % 2 == 1: # 当指数为奇数 result = (result * base) % modulus exponent //= 2 base = (base * base) % modulus return result ``` ### 四、性能优化 引用[1]指出计算机常用位运算加速模运算： - 当模数 $m$ 是2的幂时，$a \% m$ 等价于 $a \& (m-1)$（位与操作）。 例如 $a \% 8 = a \& 7$，因为7的二进制是 `0111`[^1]。 ### 五、数学特性 模运算满足： - 结合律：$(a + b) \% m = ((a \% m) + (b \% m)) \% m$ - 分配律：$(a \times b) \% m = ((a \% m) \times (b \% m)) \% m$ 但**不满足**交换律（例如 $(a \% b) \% c \neq (a \% c) \% b$）。 §§相关问题§§ 1. 模运算在密码学中的具体应用有哪些？ 2. 如何用模运算实现负数的正确处理？ 3. 除2的幂外，还有哪些模运算的优化技巧？ </think>### 模运算（%）详解 #### 一、数学原理 模运算（取余运算）定义为两个整数相除后的余数： $$ a \% b = r \quad \text{其中} \quad a = b \times q + r \quad (0 \leq r < |b|) $$ **核心特性**： 1. 结果范围：$ 0 \leq r < |b| $ 2. 符号规则： - C/C++/Java：结果符号与被除数相同（$ -17 \% 5 = -2 $） - Python/Ruby：结果符号与除数相同（$ -17 \% 5 = 3 $）[^1] 3. 同余关系：$ a \equiv r \pmod{b} $ #### 二、计算机实现原理 1. **二进制优化**： 当模数为2的幂（$ 2^k $）时： $$ a \% 2^k = a \& (2^k - 1) $$ 例如：$ 19 \% 8 = 19 \& 7 = 3 $（二进制：`10011 & 00111 = 00011`）[^1] 2. **除法器复用**： 现代CPU通过共享除法器硬件实现模运算： ```plaintext a % b = a - (a // b) * b ``` #### 三、核心应用领域 1. **密码学** - RSA加密：$ c = m^e \mod n $ - 椭圆曲线加密：点运算基于模素数域的算术[^1] 2. **哈希函数** 将任意数据映射到固定范围： $$ \text{哈希桶} = \text{key} \% \text{table\_size} $$ 例如：Java的HashMap桶定位[^1] 3. **循环数据结构** 环形缓冲区索引计算： ```c int next_index = (current_index + 1) % buffer_size; ``` 4. **时间计算** 时间转换（如秒转时分秒）： ```python seconds = 9374 hours = seconds // 3600 minutes = (seconds % 3600) // 60 ``` 5. **奇偶校验** 快速判断奇偶性： ```java boolean isEven = (num % 2 == 0); ``` #### 四、使用示例 1. **基础取余** ```python print(17 % 5) # 输出: 2 print(-17 % 5) # Python输出: 3 | C输出: -2 ``` 2. **循环列表访问** ```python colors = ["红","绿","蓝"] for i in range(10): print(colors[i % 3]) # 循环输出：红,绿,蓝,红,绿... ``` 3. **数据分组** ```javascript // 将数组元素按3个一组分组 const data = [1,2,3,4,5,6,7,8]; const groups = data.reduce((acc, cur, i) => { if(i % 3 === 0) acc.push([]); acc[acc.length-1].push(cur); return acc; }, []); // 结果: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8]] ``` 4. **密码学应用（RSA解密）** ```python def rsa_decrypt(cipher, d, n): return pow(cipher, d, n) # 模幂运算：cipher^d mod n ``` #### 五、特殊情况处理 1. **除数为零**：所有语言均抛出异常（如Python的`ZeroDivisionError`） 2. **浮点数取模**： ```python 7.5 % 2.4 # 输出: 0.3 (7.5 = 3*2.4 + 0.3) ``` 3. **负数的边界行为**： ```c // C语言示例 (-5) % 3; // 结果: -2 5 % (-3); // 结果: 2 (C99标准) ``` #### 六、性能优化 1. **位运算替代**（$ b=2^k $时）： ```java int mod = num & 0x0F; // 等价于 num % 16 ``` 2. **避免大数运算**： 密码学中采用蒙哥马利模乘优化大数模运算[^1]
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