无限循环小数化为分数

最新推荐文章于 2021-03-29 20:34:52 发布

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前几天被一个小朋友的问题难住了，是怎样将无限循环小数化为分数。当时听到这个问题的时候，第一反应是：这个学过啊，但是自己一点印象都没有啊，在这么多人面前，自己还是个研究生，太丢人了吧。还好小朋友比较给面子，没有难为我，把方法告诉我了，但是当时只顾着想丢人的事了，却没有把方法记住。今天搜了一下具体的方法，在这里记一下吧。

由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。

方法一：（代数法）

类型1：纯循环小数如何化为分数

例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数

例1： 0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

例2：0.4747……×100＝47.4747……

0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747……=47
那么 0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

练习：

（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3
（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。

（3）0.312 312……=

类型2：混循环小数如何化为分数

例题：把0.4777……和0.325656……化成分数
例3： 0.4777……×10=4.777……①
       0.4777……×100=47.77……②
       用②－①即得:
        0.4777……×90=47－4
        所以：0.4777……=43/90
例4：0.325656……×100=32.5656……①
       0.325656……×10000=3256.56……②
       用②－①即得:
     0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……
       0.325656……×9900=3256－32
       所以： 0.325656……=3224/9900

练习：

（1）0.366……=

（2）1.25858……=

（3）6.23898989……=

可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。

方法二：（方程法）用一元一次方程求解
1.把0.232323... 化成分数。
设X=0.232323...
因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...
所以 X = 0.23 + 0.01X
解得：X = 23/99

2.把0.1234123412341234...化成分数。
解：设X=0.1234123412341234...
因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...
所以X = 0.1234 + 0.0001X
解得：X = 1234/9999

3.把0.56787878...化成分数，
因为0.56787878...= 0.56 + 0.01 * 0.787878...
所以设X=0.787878...则X=0.78 + 0.01X
所以X = 78/99
所以原小数0.56787878...=0.56+ 0.01X = 0.56 + 0.078/99 =2811/4950

其它无限循环小数，请仿照上述例题去作

方法三：任意一个无限循环小数都可以看成一个有限小数加上一个等比数列的极限和

比如说0.233333333...就可以看成0.2加上一个首项为0.03，公比为0.1的等比数列。那么问题就很简单了0.233333333...=0.2+0.03/(1-0.1)=1/5+1/30=7/30。

也就是说任意一个有限循环小数化成分数有如下方法：
首先找出选环节，如上面的例子就是3，然后计算选环节的单位长度，如上题就是1，如0.232323...就是2，0.123123123...就是3，这里记为q，然后写出不是循环节的部分，如上题就是0.2，这里记为a，再写出第一个循环节，如上题就是0.03，如0.01789789789...就是0.00789，这里记为b，分数的形式就是a+b/(1-1/(10^q))，这里的a,b,q都是有限小数，可方便化为分数。

在高中学完了数列、极限以后，就会知道下面的方法：
一，纯循环小数化分数：循环节的数字除以循环节的位数个9组成的整数。例如：
0.3333……=3/9=1/3；
0.285714285714……=285714/999999＝2/7.
二，混循环小数：（例如：0.24333333……）不循环部分和循环节构成的的数减去不循环部分的差，再除以循环节位数个9添上不循环部分的位数个0。例如：
0.24333333…………=(243-24)/900=73/300
0.9545454…………=(954-9)/990=945/990=21/22

1位循环 0.X X X X …… = X/9
2位循环 0.XY XY XY…… = XY/99
3位循环 0.XYZ XYZ …… = XYZ/999
……
N 位循环0.a1a2a3…an a1a2a3…an……=a1a2a3…an/9999…9(n个9)

推理依据：
0.X X X X ……
= 0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X + ……
= X *（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ……）
= X * 0.1/（1-0.1） [无限等比数列和Sn=a1/(1-q) 首项/（1-公比）]
= X * 1/9

0.XY XY XY ……
= 0.XY + 0.00XY + 0.0000XY + ……
= XY *（0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ……）
= XY * 0.01/（1-0.01）
= XY * 1/99

0.XYZ XYZ XYZ……
= 0.XYZ + 0.000XYZ +0.000000XYZ + ……
= XYZ *（0.001 + 0.000001 +0.000000001 + ……）
= XYZ * 0.001/（1-0.001）
= XYZ * 1/999

0.a1a2a3…an a1a2a3…an……
= 0.a1a2a3…an+0.000…0a1a2a3…an(n个0) + ……
= a1a2a3…an * 0.00…01(n-1个0)/(1-0.00…01)
= a1a2a3…an * 1/9999…9(n个9)

用幂的形式也可。0.00…01(n-1个0) 表示为 1/10^n

x = 0.333333....
10x = 3.33333....
10x - x = 3
x = 1/3

纯循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,分子是循环节的数字
混循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,循环节前到小数点间有几位数字,分母9后面就有几个0,分子是混循环数字减去循环节前数字的差
或者用极限解,还有就是楼上的楼上的方法

我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循化的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子：

例1 把0.4747……和0.33……化成分数。

解法1： 0.4747……×100=47.4747……

0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747…… =47

那么 0.4747……=47/99

解法2： 0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。

想1：0.4777……×10=4.777……①

0.4777……×100=47.77……②

用②－①即得:

0.4777……×90=47－4

所以, 0.4777……=43/90

想2：0.325656……×100=32.5656……①

0.325656……×10000=3256.56……②

用②－①即得:

0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……

0.325656……×9900=3256－32

所以, 0.325656……=3224/9900

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

从上面例题可知，一个纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的个数相同.最后能约分再约分。

把无限循环小数化为分数
给定一个无限循环小数，我们是否能把它化为分数呢？其实方法也很简单，其关键在于利用「无限循环」这一点。例如，给定小数0.272727...，如何把它化为分数呢？我们可以先把它写成

1 x 0.272727... = 0.272727... (1)
由于这个小数包含两个循环数字，我们把它乘以100：

100 x 0.272727... = 27.2727... (2)
接着用(2)减(1)，利用无限循环的特点，把小数点后的数字全部去掉，得

99 x 0.272727... = 27 (3)
接着把(3)化简，得

0.272727... = 3/11
当循环数字并非包括小数点后所有数字时，我们便需要多一点工夫。例如要把小数0.11345345...化为分数，可以这样做：

100 x 0.11345345... = 11.345345...
100000 x 0.11345345... = 11345.345...
99900 x 0.11345345... = 11334
0.11345345... = 11334/99900 = 1889/16650
利用上述方法，我们还可以获得某些意想不到的结果。试把0.99...化为分数：

1 x 0.99... = 0.99...
10 x 0.99... = 9.99
9 x 0.99... = 9
0.99... = 1
于是，我们得到1的无限循环小数表达式除了是1.00...外，还可以是0.99...。事实上，我们可以证明，凡是「除得尽」的分数，除可表达为以无限个0结尾的循环小数外，还可表达为以无限个9结尾的循环小数