（水）POJ-1930 无限循环小数化分数

最新推荐文章于 2019-03-13 20:16:16 发布

AC_hell

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分类专栏：算法文章标签： ACM 数论题解报告

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本文介绍了将无限循环小数转换为最简分数的方法，包括纯循环小数和混循环小数的转换公式，并提供了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：赶论文：论文里无限循环小数到底是由哪两个数除出来的呢？求分母最小的那一对。

题目链接：点击打开链接

分析：其实重点就在如何将无限循环小数化为分数，这里给大家归纳了公式。然后枚举循环节找出最小分母就行。

纯循环小数

用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。

len = 循环节长度

a = 循环节对应的整数（如0.654对应654）

公式：
分子 = a
分母 = pow(10,len)-1

混循环小数

先来看几个例子
例：把混循环小数0.228˙化为分数：
解：0.228˙
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
=103/450；
例：把混循环小数0.123˙68˙化成分数：
解：0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)
=(12368/100000)+（68/9900000）
=[（12368/99000）-（12368/990000）]+（68/9900000）
=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]
=（12368/99000）-（12300/9900000）
=(12368-123)/99000

len = 非循环部分长度
Len = 非循环部分长度（len）+循环节长度（如0.123˙68˙的Len=3+2）
a = 非循环部分对应整数（如0.123˙68˙对应a为123）
A = 非循环部分+循环节对应整数（如0.123˙68˙对应A为12368）
公式：
分子 = A-a
分母 = pow(10,Len)-pow(10,len)

然后纯循环小数可以看成a为0，len为0来利用混循环小数的公式计算，免得搞真搞混了！

附上代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <limits>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
ULL gcd(ULL a, ULL b)
{
	if (b == 0)return a;
	return gcd(b, a%b);
}
ULL ten_pow(unsigned int x)
{
	ULL result = 1;
	for (unsigned int i = 0; i < x; ++i)
	{
		result *= 10;
	}
	return result;
}
int main()
{
	string line;
	while (cin >> line)
	{
		if (line == "0")
		{
			break;
		}
		string digit = line.substr(2, line.length() - 5);
		unsigned int length = digit.length();
		const ULL n = atoi(digit.c_str());
		if (n == 0)
		{
			cout << "0/1" << endl;
			continue;
		}
		ULL min_x = numeric_limits<ULL>::max();
		ULL min_y = 0;
		for (int i = 1; i <= length; ++i)
		{
			string first = digit.substr(0, length - i);
			ULL x = ten_pow(length) - ten_pow(length - i);
			ULL y = n - atoi(first.c_str());
			ULL d = gcd(x, y);
			x /= d;
			y /= d;
			if (min_x > x)
			{
				min_x = x;
				min_y = y;
			}
		}
		cout << min_y << '/' << min_x << endl;
	}
	return 0;
}