三分查找求最值

二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。

如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。

下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。

思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。

做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。

           当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。

1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。

反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。

所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。

2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。

反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。

同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

int three_divide(int left,int right){
	int mid,mmid;
	while(left<right-1){
		mid=(left+right)/2;
		mmid=(mid+right)/2;
		if(f(mid)>f(mmid))
			right=mmid;
		else
			left=mid;
	}
	return f(left)>f(right)?left:right;
}

//另一种方法
double three_divide(double left,double right){
	double mid1,mid2;
	while(righ-left>=eps){
		mid1=left+(right-left)/3;
		mid2=right-(rigth-left)/3;
		if(f(mid1)>f(mid2))
			right=mid2;
		else
			left=mid1;
	}
	return (left+right)/2;
}