归并排序详解与实现-优快云博客

归并排序是一种基于分治法的排序算法，通过不断将有序子序列合并成更大的有序序列，最终达到整个序列有序。其时间复杂度为O(n*log2n)，空间复杂度为O(n)，且是稳定的排序算法。在空间效率上，归并排序不如堆排序，而在平均排序速度上，快速排序更优。

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要点

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

归并排序的基本思想

将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。

综上可知：

归并排序其实要做两件事：

（1）“分解”——将序列每次折半划分。

（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。

我们先来考虑第二步，如何合并？

在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。

这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。

核心代码

public void Merge( int[] array, int low, int mid, int high) {
     int i = low; // i是第一段序列的下标
     int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标
     int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标
     int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列

     // 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
     while (i <= mid && j <= high) {
         // 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
         if (array[i] <= array[j]) {
            array2[k] = array[i];
            i++;
            k++;
        } else {
            array2[k] = array[j];
            j++;
            k++;
        }
    }

     // 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
     while (i <= mid) {
        array2[k] = array[i];
        i++;
        k++;
    }

     // 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
     while (j <= high) {
        array2[k] = array[j];
        j++;
        k++;
    }

     // 将合并序列复制到原始序列中
     for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
        array[i] = array2[k];
    }
}

掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解 如何分解。

在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。

调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。

若子表个数为奇数，则最后一个子表无须和其他子表归并（即本趟处理轮空）：若子表个数为偶数，则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。

核心代码

public void MergePass( int[] array, int gap, int length) {
     int i = 0;

     // 归并gap长度的两个相邻子表
     for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
        Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
    }

     // 余下两个子表，后者长度小于gap
     if (i + gap - 1 < length) {
        Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
    }
}

public int[] sort( int[] list) {
     for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
        MergePass(list, gap, list.length);
        System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
         this.printAll(list);
    }
     return list;
}

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算法分析

归并排序算法的性能

排序类别	排序方法	时间复杂度			空间复杂度	稳定性	复杂性
		平均情况	最坏情况	最好情况
归并排序	归并排序	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(nlog2n)	O(n)	稳定	较复杂

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)。

空间复杂度

由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

算法稳定性

在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。

若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。

//别人代码

public class MergeSort {
    public void Merge(int[] array, int low, int mid, int high) {
        int i = low; // i是第一段序列的下标
        int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标
        int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标
        int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列
         // 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
        while (i <= mid && j <= high) {
             // 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
            if (array[i] <= array[j]) {
                 array2[k] = array[i];
                 i++;
                 k++;
             } else {
                 array2[k] = array[j];
                j++;
                 k++;
             }
         }

         // 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
         while (i <= mid) {
             array2[k] = array[i];
            i++;
            k++;
        }
          // 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
         while (j <= high) {
             array2[k] = array[j];
            j++;
             k++;
        }

         // 将合并序列复制到原始序列中
       for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
             array[i] = array2[k];
        }
     }

    public void MergePass(int[] array, int gap, int length) {
           int i = 0;

         // 归并gap长度的两个相邻子表
        for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
             Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
         }

         // 余下两个子表，后者长度小于gap
         if (i + gap - 1 < length) {
             Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
         }
     }

     public int[] sort(int[] list) {
        for (int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
             MergePass(list, gap, list.length);
             System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
            this.printAll(list);
         }
         return list;
     }

     // 打印完整序列
     public void printAll(int[] list) {
         for (int value : list) {
             System.out.print(value + "\t");
         }
         System.out.println();
     }

     public static void main(String[] args) {
         int[] array = {
                 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7
         };

         MergeSort merge = new MergeSort();
         System.out.print("排序前:\t\t");
         merge.printAll(array);
         merge.sort(array);
         System.out.print("排序后:\t\t");
         merge.printAll(array);
     }
 }

//自己代码

package 归并排序;
import java.util.*;
public class 归并排序 {
	public static void main(String args[]){
		Scanner reader=new Scanner(System.in);
		int []array;
		int n;
		n=reader.nextInt();
		array=new int[n];
		for(int i=0;i<n;i++)
			array[i]=reader.nextInt();
		MergeSort mergesort=new MergeSort();
		mergesort.printall(array);
		mergesort.sortmain(array);
		mergesort.printall(array);
	}
}
class MergeSort{
	void printall(int []array){
		for(int i=0;i<array.length;i++)
            System.out.printf("%d%c",array[i],i==array.length-1?'\n':' ');
		return;
	}
	void sortmain(int []array){
		for(int gap=1;gap<array.length;gap=2*gap){//gap为当前分的块每块的大小
			sort(array,gap,array.length);
			System.out.printf("Gap%d:",gap);
			printall(array);
		}
	}
	void merge(int []array,int low,int mid,int high){
		int i=low;
		int j=mid+1;
		int top=-1;
		int temp[]=new int[high-low+1];
		while(i<=mid&&j<=high){
			if(array[i]>array[j]){
				temp[++top]=array[j];
				j++;
			}
			else{
				temp[++top]=array[i];
				i++;
			}
		}
		while(i<=mid){
			temp[++top]=array[i];
			i++;
		}
		while(j<=high){
			temp[++top]=array[j];
			j++;
		}
		
		for(int k=low,t=0;k<=high;k++,t++)
		   array[k]=temp[t];
		return;
	}
	void sort(int []array,int gap,int length){
		int i;
		for(i=0;i+2*gap-1<length;i=i+2*gap){
			merge(array,i,i+gap-1,i+2*gap-1);
		}
		if(i+gap-1<length)
			merge(array,i,i+gap-1,length-1);
		return;
	}
}

//c++版

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
void Merge(int array[],int temp[],int left,int middle,int right){
	int rightstart=middle+1;
	int i=left,j=rightstart;//游标
	int top=-1;
	while(i<=middle&&j<=right){
		if(array[i]<=array[j])
			temp[++top]=array[i++];
		else
			temp[++top]=array[j++];
	}
	while(i<=middle)
		temp[++top]=array[i++];
	while(j<=right)
		temp[++top]=array[j++];
	for(int t=0,x=left;t<=top;t++,x++)
		array[x]=temp[t];
}
void Msort(int array[],int temp[],int left,int right){
	int middle;
	if(left<right){
		middle=(left+right)/2;
		Msort(array,temp,left,middle);
		Msort(array,temp,middle+1,right);
		Merge(array,temp,left,middle,right);
	}
}
void MergeSort(int array[],int n){
	int *temp=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	if(temp){
		Msort(array,temp,0,n-1);
		for(int i=0;i<n;i++)
			cout<<array[i]<<(i==n-1?'\n':' ');
		free(temp);
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int array[n];
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>array[i];
	MergeSort(array,n);
	return 0;	
}