排序算法之归并排序

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title: 归并排序
date: 2024-7-19 15:03:06 +0800
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  description: 归并排序（Merge Sort）是一种基于分治法的有效排序算法。它将一个列表分成较小的子列表，对每个子列表进行排序，然后合并这些子列表以产生一个有序列表。
  math: true

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归并排序

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治法（Divide and Conquer）的有效排序算法。它将一个列表分成较小的子列表，对每个子列表进行排序，然后合并这些子列表以产生一个有序列表。

采用分治法:
 分割：递归地把当前序列平均分割成两半。
 集成：在保持元素顺序的同时将上一步得到的子序列集成到一起（归并）。

工作原理

1. 分割：将列表分成两个子列表。
2. 递归排序：对每个子列表递归地进行归并排序。
3. 合并：将两个有序的子列表合并成一个有序列表。

归并操作

归并操作（merge），也叫归并算法，指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。归并排序算法依赖归并操作。

递归法（Top-down）

1. 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
2. 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
3. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
4. 重复步骤3直到某一指针到达序列尾
5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

迭代法（Bottom-up）

原理如下（假设序列共有$n$个元素）：

1. 将序列每相邻两个数字进行归并操作，形成$ceil(n/2)$个序列，排序后每个序列包含两/一个元素
2. 若此时序列数不是1个则将上述序列再次归并，形成$ceil(n/4)$个序列，每个序列包含四/三个元素
3. 重复步骤2，直到所有元素排序完毕，即序列数为1

图示

示例

假设有一个待排序的列表：[38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]

第一步：分割

• 将列表分割成两个子列表：[38, 27, 43] 和 [3, 9, 82, 10]

第二步：递归排序

• 继续将子列表分割，直到每个子列表只有一个元素。
• [38], [27], [43], [3], [9], [82], [10]

第三步：合并

• 将单个元素的子列表合并成有序子列表。
• [27, 38], [3, 43], [9, 82], [10]
• 继续合并，直到得到最终的有序列表。
• [3, 27, 38, 43], [9, 10, 82]
• [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n\log n)$、非自适应排序：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

• 空间复杂度为 $O(n)$、非原地排序：递归深度为 $\log n$ ，使用 O ( log ⁡ n ) O(\log n)