《二叉搜索树：数据世界的高效猎人》

 前言

本篇博客将详细介绍C++的二叉搜索树

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本篇文章所涉及的代码在Gitte仓库

码云——二叉搜索树

🖥 文章专栏：C++

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一.二叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等
值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

二.二叉树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： log2 N

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数
据。
所以这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的基本操作

3.1二叉搜索树的插入

插入操作的步骤如下：

1. 如果树为空，直接创建根节点。
2. 如果树不为空，从根节点开始比较，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
3. 如果插入的值已经存在，则插入失败。

   template<class K>
   struct BSTNode
   {
   	K _key;
   	BSTNode<K>* _left;
   	BSTNode<K>* _right;
   	BSTNode(const K& key)
   		:_key(key)
   		, _left(nullptr)
   		, _right(nullptr)
   	{}
   };
   template<class K>
   class BSTree
   {
   	typedef BSTNode<K> Node;
   public:
   	bool Insert(const K& key)
   	{
   		if (_root == nullptr)
   		{
   			_root = new Node(key);
   			return true;
   		}
   		Node* parent = nullptr;
   		Node* cur = _root;
   		while (cur)
   		{
   			if (key > cur->_key)
   			{
   				parent = cur;
   				cur = cur->_right;
   			}
   			else if (key < cur->_key)
   			{
   				parent = cur;
   				cur = cur->_left;
   			}
   			else
   			{
   				return false;
   			}
   		}
   		cur = new Node(key);
   		cur = new Node(key);
   		if (parent->_key < key)
   		{
   			parent->_right = cur;
   		}
   		else
   		{
   			parent->_left = cur;
   		}
   		return true;
   	}
   
   private:
   	Node* _root = nullptr;
   };

   

3.2二叉搜索树的查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要到1的右孩⼦的那个3返回

 

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

3.2二叉搜索树的删除 

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：
1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else//删除
		{
			//0个孩子或者1个孩子的删除
			//左为空
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				delete cur;
			}
			//右为空
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}

				}
				delete cur;
			}
			
			else//两个孩子的删除
			{
				Node* replaceparent = cur;
				Node* replace = cur->_right;
				while (replace->_left)
				{
					replaceparent = replace;
					replace = replace->_left;
				}
				cur->_key = replace->_key;
				if (replaceparent->_left == replace)
				{
					replaceparent->_left = replace->_right;
				}
				else
				{
					replaceparent->_right = replace->_right;
				}
				delete replace;
				
			}
			return true;
		}

	}
	return false;
}

 四. ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

4.1key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

4.2 key/value搜索场景

⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存
储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

4.3key/value⼆叉搜索树代码实现

为了方便查看代码，代码在Gitee上

https://gitee.com/cai-bowei/text.c/blob/master/15.%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91/BinarySearch.h