Codeforces --Beautiful Graph（二分图+并查集+dfs优化+快速幂）

最新推荐文章于 2021-07-15 12:01:23 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-15 12:01:23 发布 · 336 阅读

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本文深入探讨了图论中的一种特殊染色问题，通过给图的每个节点分配1、2或3三种颜色之一，保证相邻节点颜色之和为奇数。文章详细介绍了如何使用并查集和深度优先搜索（DFS）算法来解决这一问题，提供了AC代码实现，并讨论了图不连通、存在奇数顶点环等特殊情况下的解决方案。

在这里插入图片描述

思路：

给每个点赋值（1，2，3）种的任意一个数，并保证相邻两个节点之和为奇数
由此可以推出：对每一个连通块中的任意一个奇数结点，都有两种赋值可能（1或3），统计每个连通块中的奇数(cnt1)和偶数（cnt2）顶点的个数，只考虑奇数结点的时候有 $2^{cnt1}$ 种，奇数偶数结点互换后有 $2^{cnt2}$ ，那么总的方案数就有 $2^{cnt1}+2^{cnt2}$ 种。
注意：
图不连通的时候，总方案数应为所有连通块的方案数累乘
当某个连通块只有一个结点的时候，该连通块方案数有3种
奇环无法染色，只要出现有奇数顶点的环，总方案数为0

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn= 3e5+10,mod=998244353;
ll t,n,m,u,v,ans,cnt1,cnt2,k,tot;
ll pre[maxn*2],head[maxn*2],vis[maxn*2];
bool flag;
struct node { //邻接表
	int to,next;
} e[maxn*2];

ll qpow(ll a,ll b) { //快速幂模板
	ll res = 1,base = a;
	while(b) {
		if(b&1) res = res*base%mod;
		base = base*base%mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int xfind(int x) {	//并查集模板
	return (pre[x]==x ? x : pre[x]=xfind(pre[x]));
}

void add(int u,int v) {
	e[tot].to=v;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot++;
}

void dfs(int u, int f, int status) {
	k++;
	vis[u] = 1;
	if(status == 1) cnt1++;
	else cnt2++;
	for (int i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)//对邻接表的dfs
		if(e[i].to != f && !vis[e[i].to])
			dfs(e[i].to, u, status^1);//status用来记录当前节点u为奇数还是偶数 
}
int main() {
	scanf("%d",&t);
	while(t--) {
		scanf("%d%d",&n,&m);
		tot=1,flag=true;
		for(int i=0; i<=n*2; i++) pre[i]=i,vis[i]=head[i]=0;
		for(int i=1; i<=m; i++) {
			scanf("%d%d",&u,&v);
			add(u,v),add(v,u);
			if(xfind(u)==xfind(v)) flag=false;//很巧妙，但没看太懂 
			pre[xfind(u)] = xfind(v+n);
			pre[xfind(v)] = xfind(u+n);
		}
		if(!flag) cout<<"0"<<endl;
		else {
			ans=1;
			for(int i=1; i<=n; i++) {
				if(vis[i]) continue;
				k=cnt1=cnt2=0;
				dfs(i,0,0);
				if(k==1) ans=(ans*3)%mod;
				else ans *= (qpow(2,cnt1)+qpow(2,cnt2)%mod);
			}
			printf("%lld\n",ans%mod);
		}
	}
}