NOWCODER 答题卡(DP)

最新推荐文章于 2024-04-13 16:24:47 发布

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#算法 #c++

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探讨在n*n矩阵中，遵循每行每列仅涂黑一格且整体保持横竖对称条件下，所有可能的涂色方案数量。通过动态规划方法，建立状态转移方程，最终实现高效计算。

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/205036
来源：牛客网
在这里插入图片描述

题意：

对n * n 的矩阵中只能涂黑 n 个空，且每行每列都只能涂黑一个空。求横竖对称的方案数。

思路

因为n * n 的矩阵中只能涂黑 n 个空，且每行和每列只能涂黑一个空，
dp[x]表示x*x的矩阵中可能的答案总数。
1.如果第一行 j=1.那么第一行第一列都不能填了，所以有dp[x - 1]种可能.
2.如果 j != 1 ，根据主对角线对称的规则（如果（1，j）被涂黑了，（j，1）也要被涂黑，因为是主对角线对称的），位置（1，j）与（j，1）都被填了。那么行和列都会减少2。剩下来x - 2 行 x - 2 列。因为 j 除了1之外还有x-1个位置可选，所以有(x-1)*dp[x - 2]种可能。
综上，状态转移方程： dp[x] = dp[x - 1] + (x - 1) * dp[x - 2]

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e5+10,mod=1e9+7;
ll n,dp[maxn]; 
int main(){
    dp[1]=1,dp[2]=2;
    for(int i=3;i<=maxn;i++)
        dp[i]=(dp[i-1]+(i-1)*dp[i-2])%mod;
    while(cin>>n) cout<<dp[n]<<endl;
}