Coursera - Algorithm (Stanford) - 课程笔记 - Week 2

Divide & Conquer Algorithms

O(n log n) Algorithm for Counting Inversions

• 分治算法
  • 将问题分割为更小的子问题
  • 通过递归调用解决这些问题
  • 将子问题的结果合并到更大的子问题中作为其结果
• 逆序对
  • 数组中存在的i < j但是a[i] > a[j]的情况
  • 左逆序对：二者都在左半部分
  • 右逆序对：二者都在右半部分
  • 跨逆序对：分别在两侧
• 思路：将归并排序融合进来
  • 两个半部分一边数逆序对一边排序，对两个有序的半部分再归并同时计算逆序对
• 归并时，对于右侧的一个数字y，若复制到目标数组时，其相关的逆序对个数即此时左侧剩下的元素个数
• 因为整个过程基于归并排序，因此与归并排序有着相同的时间复杂度（$O(n\log n)$）

Strassen’s Subcubic Matrix Multiplication

• 直接计算矩阵：立方级别时间复杂度
• 递归算法：
  • 将矩阵等分成四个部分
  • 将两个矩阵的乘积转化为八个小矩阵的乘积（八个递归项）
  • 做加和处理
  • 仍旧是立方复杂度
• Steassen算法
  • 递归项只有7个
  • 进行必要的加和和相减处理
  • 八个小矩阵为A~H
  • 递归计算七个积：
    • $P_1=A(F-H)$
    • $P_2=(A+B)H$
    • $P_3=(C+D)E$
    • $P_4=D(G-E)$
    • $P_5=(A+D)(E+H)$
    • $P_6=(B-D)(G+H)$
    • $P_7=(A-C)(E+F)$
  • $X+Y=(\begin{array}{cc}AE+BG& AF+BH\\ CE+DG& CF+DH\end{array})=(\begin{array}{cc}{P}_5+P_4-P_2+P_6& P_1+P_2\\ P_3+P_4& P_1+P_5-P_3-P_7\end{array})$
  • 有效地降低了复杂度（次立方级别复杂度）

Closet Pair

• 最近点对问题：
  • 给出一组平面上的点
  • 找出其中距离最近的一对
  • 距离为点的欧氏距离
  • 假设所有点坐标不同（相同亦可）
• 暴力搜索：$\theta (n^2)$的时间复杂度
• 1-D平面上的点：归并排序后遍历相邻点的距离（$O(n\log n)$）
• 基本思路：类似逆序对算法，进行归并式的寻找，时间复杂度同样为（$O(n\log n)$）
• 关键思路：只计算尚未“解锁”的情形中距离比现有递归结果最小的部分
• 计算过程
  • 将点按照坐标的从大到小排序，将Q和R表示为点集的左半部分和右半部分
  • 计算（p1，q1）为Q中最近对
  • 计算（p2，q2）为P中最近对
  • 计算两个对的最小者的距离δ
  • 根据δ和P，计算跨两部分的最近对（p3，q3）
  • 取三者最小向上递归结果
• split最近对的寻找：线性时间扫描
  • 一次只看7个点（已经按照y坐标排序）

The Master Method

• 对分治算法的数学分析：循环表示法（Recurrence）
• 循环表示法的形式化表示（假设子问题的大小均一致）：
  • 基本情形：对足够小的$n$，$T(n)\le \text{a constant}$
  • 对其他更大的$n$：$T(n)\le aT(\frac{n}{b})+O(n^d)$
    • a：递归调用的个数
    • b：输入大小的缩减因子
    • d：对递归调用结果的加和操作的指数因子
  • 如果$a=b^d$：$T(n)=(n^d\log n)$
  • 如果$a<b^d$：$T(n)=(n^d)$
  • 如果$a>b^d$：$T(n)=(n^{{\log }_{b}a})$