poj1190 生日蛋糕

生日蛋糕

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Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 
（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

思路分析

从底层开始递归枚举半径和长度，找到一个最优解。

剪枝一：非法解剪枝，在枚举半径和长度的时，除去非法值，或是剩下层数的最小体积加上当前体积大于N，则退出递归。

剪枝二：当前最优解剪枝，若剩下层数的最小面积或者剩下体积的最小面积加上当前面积大于当前最优解。

剪枝三：因为前deep层的体积为sumv,那么剩余的m-deep层的体积满足:n-sumv=(h[k]*(r[k]^2)+……+h[m]*(r[m]^2))   (k=deep+1,……,m)          V=π*r^2*h 
       而剩余部分的表面积满足:lefts=2*(r[k]*h[k]+……+r[m]*h[m])>2*(n-sumv)/r[deep]      (k=deep+1,……,m) S=2*π*r*h
       (ps:公式推导：因为v=πr^2*h;s=2*πr*h，所以v只与s和r有关，即s=2*v/r)
       ★★★★显然有上述不等式lefts=best-sums>2*(n-sumv)/r,即2*(n-sumv)/r+sums<best,所以当2*(n-sumv)/r[i]+sums>=best时        也可以进行剪枝. 

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,best;//best为当前面积最小 值 
int minv[21],mins[21];//前i层最小体积和表面积 
 
 void cake()//初始 
 {
      minv[0]=0;
      mins[0]=0;
      //从顶层向下枚举 
      for(int i=1;i<=22;i++){
            minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;//V=π*r*r*h
            mins[i]=mins[i-1]+2*i*i; //s=2*π*r*r 
	  }
 }
 
 void dfs(int deep,int sumv,int sums,int r,int h){//前deep层的体积为sumv，面积为sums ，r，h为该层地点半径和高 
      int Hmax;
      if(deep==0) //完成搜索，更新 
      {
          if(sumv==n&&sums<best) best=sums;
         return;
      }
	  /*剪枝：
	  1.（体积违法剪枝）因为前deep层的体积为sumv,如果剩下的几层的体积都取最小可能值,总体积还是比n大,
	  那么则说明前deep层的方案不可行,所以可以剪枝(剪枝条件为:sumv+minv[deep-1]>n 
	  2.（面积最优解剪枝）因为前deep层的面积为sums,如果剩下的几层的面积都取最小可能值,
	  所得的面积和比已经得到的所求的最小面积best大,也可以进行剪枝(剪枝条件为:sums+mins[deep-1]>best)
	  3. 因为前deep层的体积为sumv,那么剩余的m-deep层的体积满足:n-sumv=(h[k]*(r[k]^2)+……+h[m]*(r[m]^2))   (k=deep+1,……,m) V=π*r^2*h 
        而剩余部分的表面积满足:lefts=2*(r[k]*h[k]+……+r[m]*h[m])>2*(n-sumv)/r[deep]      (k=deep+1,……,m) S=2*π*r*h
        (ps:公式推导：因为v=πr^2*h;s=2*πr*h，所以v只与s和r有关，即s=2*v/r)
         ★★★★显然有上述不等式lefts=best-sums>2*(n-sumv)/r,即2*(n-sumv)/r+sums<best,所以当2*(n-sumv)/r[i]+sums>=best时也可以进行剪枝. 
	 */ 
     if((sumv+minv[deep-1]>n)||(sums+mins[deep-1]>best)||(2*(n-sumv)/r+sums>=best)) return;
	  //枚举deep层蛋糕半径的可能值，deep层最小半径为deep？？？ 
     for(int i=r-1;i>=deep;i--)
     {
          if(deep==m) sums=i*i;//底面积作为外表面积的初始值（因为总的上表面积等于底面积） 
          Hmax=min((n-sumv-minv[deep-1])/(i*i),h-1);//n-sumv-minv[deep-1]（deep曾最大体积）；Hmax为高度上限 
          for(int j=Hmax;j>=deep;j--) dfs(deep-1,sumv+j*i*i,sums+2*i*j,i,j);//deep层最小高度值为deep？？？ （递归搜索）
     }
 }
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);//体积，层数 
    cake();
    for(int i=m;i>=1;i--)//从底层向上 
    {
            best=0x7f7f7f7f;
            dfs(m,0,0,n+1,n+1);//n+1???
    }printf("%d\n",best);
}