[c.y.j]正则

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http://martinwuje.iteye.com/blog/1880841
### 正则项的概念及其在机器学习中的作用 正则项是一种用于优化目标函数的技术,在机器学习中被广泛应用于减少模型的过拟合风险。其核心思想是对模型参数施加额外的约束条件,从而使得模型更加平滑并具有更好的泛化能力。 #### 1. 正则项的基本定义 正则项通常是加入到损失函数中的一个附加部分,用来惩罚较大的权重值。这种惩罚机制可以通过不同的形式实现,其中最常见的是 L2 和 L1 正则化[^3]。对于 L2 正则化而言,它的表达式为: \[ R(\theta) = \frac{\lambda}{2n} \sum_{j=1}^{n} (\theta_j)^2 \] 这里 \( \lambda \) 是正则化强度超参数,\( n \) 表示训练样本数量,而 \( \theta_j \) 则表示第 \( j \) 个模型参数。通过引入这一项,我们可以有效地控制模型复杂度,降低过拟合的可能性。 #### 2. 正则化的具体用法 当构建一个带有正则化的线性回归或者逻辑回归模型时,最终的目标是最小化如下所示的新成本函数: \[ J(\theta) = C_0 + R(\theta) \] 其中 \( C_0 \) 表示未经过任何调整的基础成本函数, 而 \( R(\theta) \) 即为我们之前提到过的正则项。例如在线性回归的情况下,基础成本函数可能是均方误差(MSE),即: \[ C_0 = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \] 综合起来看,完整的带L2正则化的线性回归的成本函数变为: ```python def cost_function(theta, X, y, lambda_param): m = len(y) predictions = np.dot(X, theta) error = predictions - y mse_term = (1 / (2 * m)) * np.sum(error ** 2) regularization_term = (lambda_param / (2 * m)) * np.sum(theta[1:] ** 2) return mse_term + regularization_term ``` 注意在这个例子里面,`theta[1:]` 的原因是因为我们一般不对偏置项(bias term)做正则处理[^4]。 #### 3. 实现细节与注意事项 - 在实际操作过程中,选择合适的 \( \lambda \) 值至关重要。如果该值太低,则可能无法达到预期效果;反之过高又可能导致欠拟合问题。 - 可以利用交叉验证技术来寻找最佳的 \( \lambda \)[^2]。
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