第 9 章 中位数和顺序统计量

　　在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。例如，在一个元素集合中，最小值是第 1 个顺序统计量，最大值是第n个顺序统计量（i=n）。用非形式化的描述来说，一个中位数是它所属集合的“中点元素”。当n为奇数时，中位数是唯一的，位与i=（n+1）/2.当n为偶数时，存在两个中位数，分别位与i=n/2和i=n/2+1.因此，如果不考虑n的奇偶性，中位数总是出现在i=⌊(n+1)/2⌋处（下中位数）和i=⌈（n+2)/2⌉处（上中位数）。本书中所用的中位数都是指下中位数。
　　本章将讨论从一个有n个互异的元素构成的集合中选择第i个顺序统计量的问题。假设集合中的元素都是互异的，将这一问题形式化定义为如下的选择问题：
　　输入：一个包含n个（互异的）的数的集合A和一个整数i，1<= i <= n.
　　输出：元素x∈A，且A中恰好有i-1个其他小于小于它。
　　我们可以利用堆排序和归并排序在O(nlgn)时间内解决这个问题，本章介绍一些更快的方法。

9.1 最小值和最大值

下面的程序中，我们假设该集合存放在数组A中，且A.length=n
MINIMUM（A）

min = A[1]
for i = 2 to A.length
    if min > A[i]
        min = A[i]
return min

为了确定最小值，必须要做n-1次比较。因此从所执行的比较次数来看，算法MINMUM是最优的。
同时找到最小值和最大值
分别独立地找出最小值和最大值，共需2n-2次比较
事实上，我们只需要最多3⌊n/2⌋次比较就可以同时找到最小值和最大值。具体方法是记录已知的最小值和最大值，对输入元素成对地进行处理。首先将一对输入元素相互比较，然后把较小的与当前最小值比较，较大的与当前最大值比较。这样对每两个元素共需3次比较。
如果n是奇数，就把最小值和最大值的初始值都设为第一个元素的值，然后成对处理余下的元素。如果n是偶数，就对前两个做一次比较，然后成对处理。

9.2 期望为线性时间的选择算法

　　一般选择问题看起来要比找最小值这样的问题更难，但是这两个问题的渐近运行时间都是θ（n）。本节介绍一种解决选择问题的分治算法。RANDOMIZED-SELECT算法以快速排序算法为模型，将输入数组进行递归划分，与快速排序不同的是，快速排序会递归处理划分的两边，而RANDOMIZED-SELECT只处理划分的一边。这一差异会在性能分析中体现出来：快速排序的期望运行时间是θ（nlgn），而RANDOMIZED-SELECT的期望运行时间为θ（n）。这里，假设输入数据都是互异的。
　　RANDOMIZED-SELECT利用了7.3节介绍的RANDOMIZED-PARTITION过程。与RANDOMIZED-QUICKSORT一样，它的部分行为是由随机数生成器的输出决定的，所以RANDOMIZED-SELECT也是一个随机算法。以下是伪代码，它返回数组A[p..r]中第i小的的元素。
RANDOMIZED-SELECT（A, p, r, i)

if p == r
    return A[p]
q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
k = q-p+1
if i == k
    return A[q]
else if i <　ｋ
    return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q-1, i)
else return RANDOMIZED-SELECT(A, q+1, r, i-k)

　　RANDOMIZED-SELECT的最坏情况运行时间为$θ（n^2)$,期望运行时间为O(n)。得出结论：假设所有元素都是互异的，在期望运行时间内，可以找到任一顺序统计量，特别是中位数。

9.3 最坏情况为线性时间的选择算法

　　像RANDOMIZED-SELECT一样，SELCT算法通过对输入数组的递归划分找出所需元素，但是，在该算法中能够保证得到对数组的一个好的划分。SELECT使用的也是快速排序算法的确定性划分算法PARTITION。但做了修改，把划分的主元也作为输入参数。
　　通过执行下列步骤，算法SELECT可以确定一个有n>1个不同元素的输入数组中第i小的元素。（如果n=1，则返回它的唯一输入数值作为第i小的元素）。
　　

1. 将输入数组的n个元素划分为⌊n/5⌋，每组5个元素，且至多只有一组由剩下的n mod 5 个元素组成。
2. 寻找这⌈n/5⌉组中每一组的中位数：首先对每组元素进行插入排序，然后确定每组有序元素的中位数。
3. 对第 2 步中找出的⌈n/5⌉个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x（如果有偶数个中位数，为了方便，约定x是较小的中位数）
4. 利用修改的PARTITION版本，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分的低区中的元素数目多1，因此，x是第k小的元素，并且有n-k个元素在划分的高区。
5. 如果i=k，则返回x.如果i < k,则在低区递归调用SELECT来找出第i小的元素，如果i>k，则在高区递归查找第i-k小的元素。
   推论得到算法递归式：
   $$T(n) \le \begin{cases} O(1), & \text{若n<140 } \\ T(⌈n/5⌉)+T(7n/10+6)+O(n), & \text{若n$\ge$ 140} \end{cases}$$
   这个运行时间是线性的。