时间复杂度和空间复杂度的最小单位是什么

原创已于 2023-09-13 07:06:48 修改 · 611 阅读

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于 2023-08-30 23:15:59 首次发布

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文章详细解释了时间复杂度和空间复杂度的概念，以求n个整数最大值为例，分析了如何量化时间和空间复杂度，指出常数项对复杂度的影响，并简化为O(n)。

时间复杂度：CPU读写一次内存算作时间复杂度的最小单位。

读内存的场景：获取变量的值。

例如： if(x < 1000)

写内存的场景：给变量赋值。

例如：x = 1000

空间复杂度：内存占用一个字节作为空间复杂度的最小单位。

如上图所示，由于CPU运算（加减乘除）特别快，而内存的速度与之相比慢了很多，但是CPU又只有有限的几个寄存器可以参与计算，所以，数据总是保存在内存中，通过内存数据反复的和寄存器交换数据，再由CPU加工寄存器数据来完成实际的运算，这就导致瓶颈发生在内存的读写上。

如果一个计算过程需要更多的内存字节数量，我们就说这个计算过程的空间复杂度比较高。

如果一个计算过程需要更多的内存读写次数，我们就说这个计算过程的时间复杂度比较高。

如何量化时间复杂度和空间复杂度呢？

我们用时间复杂度和空间复杂度的最小单位的函数来表示。

比如，我想求 n 个整数的最大值。

空间复杂度怎么量化？

那么，我就需要 n 个内存空间来存储这 n 个整数。这时候我们就说求 n 个整数最大值的过程（算法），需要的空间复杂度为 O(n)。

时间复杂度怎么量化？

假设，这 n 个整数连续的存储在一个数组中，那么需要的时间复杂度就是需要遍历这个 n 个整数。代码如下：

int max_num = array[0];
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
    max_num = max(max_num, array[i]);
}
return max_num;

从代码中可以看出来，我们需要读取内存次数为 1 + n * 3。

其中， 1 对应： int max_num = array[0]; 也就是给 max_num 初始化。

其中， n * 3 对应： for(i : 0 ~ n-1) max_num = max(max_num, array[i])。循环执行了[0~n-1] 次，也就是 n 次。

循环的每一次，访问了几次内存呢？ 3 次。

为何是 3 次呢？其实是 max_num = max(max_num, array[i]); 这条语句访问了 3 次内存。

读取 max_num 原来的值 1 次（读内存），读取 array[i] 的值 1 次（读内存），最后把新的 max 求出来（这个比较是在CPU内部寄存器完成的，没有再发生内存读取），求出了新的 max 之后写回到内存覆盖 max_num 之前的值。这时候是 1 次写内存。

所以，总共是 2 次读内存， 1 次写内存。总共是 3 次。

综上，求 n 个数的最大值，时间复杂度为 1 + n * 3。

由于随着 n 的规模变大，常数 1 可以忽略。比如， 1000000000 个整数的最大值，和 1000000001个整数的最大值，我们认为时间复杂度是相同的。

这样时间复杂度就变成了 O(n*3) 。

另外，常数项系数，并没有从本质上改变复杂度。我们通常把常数项都改写为 1 来简化问题复杂度的描述。

这样以来，时间复杂度就变成了 O(n)。